2024年7月5日 星期五

訓練數學感 376 ─ 混亂時鐘有多少種起始狀態?

https://4rdp.blogspot.com/2024/07/376.html

 圖片來自 混亂時鐘多個美妙的局面

ejsoon 混亂時鐘的遊戲起始,就是把所有鐘面數字弄亂,不對號入座,請問這個遊戲有多少種起始狀態?

難度 ✩✩✩✩

一個遊戲設計,我會計算它的排列組合狀況,混亂時鐘真的有夠混亂,高中數學程度可以解,不過數值很大就給四顆星。此外,OEIS 已經記載這個數列了。

14 則留言:

  1. 巧了,我在2022年4月在數研論壇也問過相同的問題。當然以我的水平可能還無法解出。
    https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=18372&extra=&mobile=no

    高手說這個叫錯位排序,用容斥原理可得到[n!/e],n=12,則結果為176214841。

    我的問題是,四捨六入可以理解,但五到底是捨還是入,目前還不是很明白。

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  2. 關於錯位排序,它的解法在 訓練數學感 50 ─ 不對號入座 有討論過。
    另外,https://oeis.org/A000166 也有記載,從 OEIS 序號 166 來看這是一個非常重要的數列。
    五剛好是中間值,因此四捨五入是指小數值過半時進位處理。
    至於 [n!/e] 很難想像會跟自然指數 e 扯上關係。

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  3. 四捨五入我搞明白了,1/2=0.5,然而一般的小數都會比0.5大,所以就要進一。

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  4. 四捨五入不是小學就會教嗎?

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  5. 我不是不懂四捨五入,而是質疑。我的大學老師也提出過另一種說法,我至今不知道他說的是那個行業的標準,還是他的個人看法。

    我現在的看法是,如果精準的等於0.5,那是不能入的,只有0.5000065004556這樣的,大於0.5的,才可以入。

    而除以e的話,都不可能會出現精準的0.5,所以就可以放心的四捨五入。

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  6. 至於 [n!/e] 很難想像會跟自然指數 e 扯上關係。


    這個我已經弄明白了,跟e^x的泰勒展開有關。它前面的式子,正好等於x=-1時的麥克勞林公式。

    到時我會在我的部落格,也寫一篇文章。

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    1. 如你所說,最終只需要拿所有排列情況除以自然對數e,就能得到結果,確實是件很神奇的事。
      如果不是推算,一開始根本想不到。
      可能我們對「自然對數e」的了解還很有限。

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    2. 0.5 我是會進位的

      $e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\cdots \cdots$
      $e = 1-(-1)+\frac{1}{2}-\frac{-1}{6}+\frac{1}{24}-\frac{-1}{120}+\frac{1}{720}+\cdots \approx 2.718$

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    3. 四捨五入的本質原理是,大於1/2的入,小於1/2的捨,如果等於1/2,那就無法確定是捨還是入,只好保留。這是我的個人理解。

      當然也可以額外增加規定,0.5是入還是捨。不過基本上用到四捨五入的場合,都不會出現精準等於0.5的情況。

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    4. 核對不同程式語言 round() 差異,C語言 0.5 會進位,但 Python 不會

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  7. 程式語言中的round(),國小教的四捨五入,公司財務的統計報表,或許會出現準確的0.5,或許0.5會進一。

    但是我個人認為,當我們在數學命題中使用[x]這個取整符號時,我們要首先保證x的小數部份不會出現精準的0.5。

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    1. 世上的事,當你強求不要出現 0.5,結果總是會讓你失望。銀行也是用四捨五入處理利息和匯率。

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    2. 銀行怎麼算我不太清楚,我只在乎n!/e是否會出現精準的0.5。

      下面我用反證法來證明。假設n!/e=k+0.5,n和k是正整數,則2(n!)/(2k+1)=e,但是由於自然對數e是無理數,所以該命題不成立。

      因此n!/e可以放進[ ]內。

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    3. 會出現精確 0.5,只有分母為 2

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