2024年7月5日 星期五

訓練數學感 376 ─ 混亂時鐘有多少種起始狀態？

https://4rdp.blogspot.com/2024/07/376.html

 圖片來自 混亂時鐘多個美妙的局面

ejsoon 混亂時鐘的遊戲起始，就是把所有鐘面數字弄亂，不對號入座，請問這個遊戲有多少種起始狀態？

難度 ✩✩✩✩

一個遊戲設計，我會計算它的排列組合狀況，混亂時鐘真的有夠混亂，高中數學程度可以解，不過數值很大就給四顆星。此外，OEIS 已經記載這個數列了。

標籤： , ,

14 則留言:

  1. ejsoon2024年7月6日 清晨7:51

    巧了，我在2022年4月在數研論壇也問過相同的問題。當然以我的水平可能還無法解出。
    https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=18372&extra=&mobile=no

    高手說這個叫錯位排序，用容斥原理可得到[n!/e]，n=12，則結果為176214841。

    我的問題是，四捨六入可以理解，但五到底是捨還是入，目前還不是很明白。

    回覆刪除
  2. Bridan2024年7月6日 上午8:46

    關於錯位排序，它的解法在 訓練數學感 50 ─ 不對號入座 有討論過。
    另外，https://oeis.org/A000166 也有記載，從 OEIS 序號 166 來看這是一個非常重要的數列。
    五剛好是中間值，因此四捨五入是指小數值過半時進位處理。
    至於 [n!/e] 很難想像會跟自然指數 e 扯上關係。

    回覆刪除
  3. ejsoon2024年7月6日 中午12:31

    四捨五入我搞明白了，1/2=0.5，然而一般的小數都會比0.5大，所以就要進一。

    回覆刪除
  4. Bridan2024年7月7日 清晨7:16

    四捨五入不是小學就會教嗎？

    回覆刪除
  5. ejsoon2024年7月7日 中午12:16

    我不是不懂四捨五入，而是質疑。我的大學老師也提出過另一種說法，我至今不知道他說的是那個行業的標準，還是他的個人看法。

    我現在的看法是，如果精準的等於0.5，那是不能入的，只有0.5000065004556這樣的，大於0.5的，才可以入。

    而除以e的話，都不可能會出現精準的0.5，所以就可以放心的四捨五入。

    回覆刪除
  6. ejsoon2024年7月7日 中午12:20

    「
    至於 [n!/e] 很難想像會跟自然指數 e 扯上關係。
    」

    這個我已經弄明白了，跟e^x的泰勒展開有關。它前面的式子，正好等於x=-1時的麥克勞林公式。

    到時我會在我的部落格，也寫一篇文章。

    回覆刪除
    回覆
    1. ejsoon2024年7月7日 晚上9:56

      如你所說，最終只需要拿所有排列情況除以自然對數e，就能得到結果，確實是件很神奇的事。
      如果不是推算，一開始根本想不到。
      可能我們對「自然對數e」的了解還很有限。

      刪除
    2. Bridan2024年7月7日 晚上11:17

      0.5 我是會進位的

      $e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\cdots \cdots$
      $e = 1-(-1)+\frac{1}{2}-\frac{-1}{6}+\frac{1}{24}-\frac{-1}{120}+\frac{1}{720}+\cdots \approx 2.718$

      刪除
    3. ejsoon2024年7月8日 清晨7:02

      四捨五入的本質原理是，大於1/2的入，小於1/2的捨，如果等於1/2，那就無法確定是捨還是入，只好保留。這是我的個人理解。

      當然也可以額外增加規定，0.5是入還是捨。不過基本上用到四捨五入的場合，都不會出現精準等於0.5的情況。

      刪除
    4. Bridan2024年7月8日 晚上7:48

      核對不同程式語言 round() 差異，C語言 0.5 會進位，但 Python 不會

      刪除
  7. ejsoon2024年7月10日 中午12:35

    程式語言中的round()，國小教的四捨五入，公司財務的統計報表，或許會出現準確的0.5，或許0.5會進一。

    但是我個人認為，當我們在數學命題中使用[x]這個取整符號時，我們要首先保證x的小數部份不會出現精準的0.5。

    回覆刪除
    回覆
    1. Bridan2024年7月10日 晚上8:04

      世上的事，當你強求不要出現 0.5，結果總是會讓你失望。銀行也是用四捨五入處理利息和匯率。

      刪除
    2. ejsoon2024年7月11日 上午9:59

      銀行怎麼算我不太清楚，我只在乎n!/e是否會出現精準的0.5。

      下面我用反證法來證明。假設n!/e=k+0.5，n和k是正整數，則2(n!)/(2k+1)=e，但是由於自然對數e是無理數，所以該命題不成立。

      因此n!/e可以放進[ ]內。

      刪除
    3. Bridan2024年7月11日 晚上9:14

      會出現精確 0.5，只有分母為 2

      刪除

訂閱： 張貼留言 (Atom)