2018年12月25日 星期二

訓練數學感 198 ─ 45 度直角三角形的內接圓

https://4rdp.blogspot.com/2018/12/198-45.html

45 度直角三角形會有一大內接圓，畫完大圓後，還可以再畫一小內接圓，試求大小圓的面積比。

難度 ✩✩

這題目是 Andy 想的，通常大家只想到大內接圓，他還想到小內接圓，以及如何解它，並想藉此考驗我，基本上，中學的數學題給我時間，都可以解決，大學程度的就不敢說了。

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15 則留言:

  1. .2019年1月18日 晚上11:48

    http://imgur.com/gallery/x3zuKtw
    代22.5度的話 化簡起來好像會很恐怖。

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    1. Bridan2019年1月19日 上午10:03

      正解，利用三角函數的解法，乾淨俐落。
      加分題，假設三角形邊長 AB = 1，大圓半徑 R，試求出半徑。

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  2. .2019年1月29日 上午10:32

    $r=R\cdot \frac{1-\sin 22.5^{\circ}}{1+\sin 22.5^{\circ}}$
    又$R=\frac{1+1-\sqrt{2}}{2}=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$
    所以$r=\left ( \frac{2-\sqrt{2}}{2} \right )\frac{1-\sin 22.5^{\circ}}{1+\sin 22.5^{\circ}}$
    我覺得寫這樣就好了。如果要把$\sin22.5^{\circ}$代入的話，處理起來會很棘手。
    丟給wolfram alpha，大概是這樣：$r=11-\frac{15}{\sqrt{2}}-2\sqrt{58-41\sqrt{2}}$

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    1. Bridan2019年1月29日 晚上11:09

      大圓半徑，正解，以上是高中程度使用三角函數的解法。
      進階題，請使用國中程度的解法，求兩圓的面積比。

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  3. 羅新義2021年9月9日 凌晨1:42

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  4. 羅新義2021年9月9日 晚上10:46

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    1. Bridan2021年9月10日 上午8:59

      面積比的答案有誤，需要檢查計算過程。

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  5. 羅新義2021年9月10日 下午3:30

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    1. Bridan2021年9月10日 下午5:54

      這個數值仍然不正確，大圓面積約為小圓面積五倍，以這為基準檢查算式。

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  6. 羅新義2021年9月10日 晚上11:16

    [7-4sqrt(2)+sqrt(2-sqrt(2))(2sqrt(2)-4)]^2

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  7. 羅新義2021年9月11日 凌晨1:08

    1. 小圓半徑/大圓半徑= (1-sin22.5)/(1+sin22.5), 而 sin22.5 = sqrt(2-sqrt(2)) /2
    代入計算即可
    2. 如果不用三角函數, 只用國中程度, 方法如下
    1. 連接小圓圓心O'與A, 連接小圓圓心O'與I, 形成三角形O'AI
    2 連接小圓圓心O 與A, 連接小圓圓心O 與D, 形成三角形O AD
    3. 三角形O'AI 中, O'I=r', AI=r'+sqrt(2) x r', O'A= sqrt(4+2sqrt(2)) x r'
    4. O'O=r+r',
    5. AO=AO'+O'O 而AO=2r/ sqrt(2-sqrt(2))
    6. 將3式,4式之值帶入6式, 可得 小圓半徑/大圓半徑= (sqrt(4+2sqrt(2)) -1 ) / (sqrt(4+2sqrt(2))+1 )

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    1. Bridan2021年9月11日 晚上10:35

      謝謝補充，修正你第二種解法，
      1 連接小圓圓心O'與A, 連接小圓圓心O'與I, 形成三角形O'AI
      2 連接大圓圓心O 與A, 連接大圓圓心O 與D, 形成三角形O AD
      3. 三角形O'AI 中, O'I=r', AI=r'+sqrt(2) x r', O'A= sqrt(4+2sqrt(2)) x r'
      4. O'O=r+r',
      5. AO=AO'+O'O 而AO=2r/ sqrt(2-sqrt(2))
      6. 將3式,4式之值帶入5式, 可得 小圓半徑/大圓半徑= (sqrt(4+2sqrt(2)) -1 ) / (sqrt(4+2sqrt(2))+1 )

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    2. Bridan2021年9月11日 晚上10:37

      不過我有個疑問，你是如何看出第三項 AI 及 O'A？

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