1. 你要出幾支手指頭最有利？
2. 你要站在靠近那裏的位置最有利？
3. 每個人被逞罰的機會相等嗎？
圓冪定理
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圓冪定理包括相交弦定理，割線定理，切割線定理。 相交弦定理 切割線定理 資料來源：
https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%9C%86%E5%B9%82%E5%AE%9A%E7%90%86
14 小時前
2016年8月10日 星期三
訓練數學感 110 ─ 數支數支輪到誰
1. 你要出幾支手指頭最有利？
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每人最少出1支，最多出5支，所以總支數會是10~50，但10支和50支的機率最小，是1/((1/5)^10)，
回覆刪除接著是11支和49支的機率是C(10,1)*1/((1/5)^10)，12支和48支的機率是C(10,1)*1/((1/5)^10)+C(10,2)*1/((1/5)^10)
依此類推下去，然後
把除10餘1的支數(11,21,31,41)的機率加起來就是第1個人被數到的機率，
把除10餘2的支數(12,22,32,42)的機率加起來就是第2個人被數到的機率，
.
.
.
把被10整除的支數(10,20,30,40,50)的機率加起來就是第10個人被數到的機率。
我沒有細算，但我覺得應該是第5個或第6個被選中的機率較高。
第1個或第10個的機率則最低。
以上是大家隨機出支數的前提下算出的，不知道正不正確。
基本判斷正確，不過有個違反直覺的狀況，請先計算十人數支的期望值，再來看答案。
刪除莫非是每個人出的期望值是3支，所以10個人的期望值是30支，所以第10個人和他的前後(第9人和第1人)中獎機率反而最高？
回覆刪除大家很容易疏忽遊戲總人數，直覺認為是開頭者的對面會是苦主，包含我也一樣曾這樣想，總人數五人時就比較跟直覺相近。
回覆刪除現在十個人玩，被數到的人就淘汰出局，每次都是從最小號開始數，假設大家每次都出三，請問最後勝利者會是誰？這又有數列可找，有興趣的人請討論留言，以此分辨貢獻度。
如果照這樣的規則，其實跟總人數無關，
刪除都是最後一個人點到機率最高不是嗎？
假設N個人，每人期望值都是3支，
總支數3N，3N/N=3整除，所以不管人數
幾人，都會是最後一個人點到機率最高。
當然N越大，越多人的時候依照大數法則，
總支數期望值會越接近3N，N小的時候誤差
則會比較大。
不知道這樣理解有沒有錯誤？
https://drive.google.com/file/d/0B-DZQIn9YfoDZVZEYVpob19tVDVzV0pCM0dfUG8xaWs3QmZN/view?usp=drivesdk
刪除但是我剛剛做了個試算表，模擬1000次的結果，我用肉眼看起來發現第10位前後的次數
似乎也沒有特別高，到底是哪裡有問題呢？
這似乎與試算表亂數函數有關，我曾自己產生均勻亂數，以中央極限定理是會有常態分佈，
刪除http://4rdp.blogspot.tw/2008/06/blog-post_14.html
你說的對，數支總數除以人數後，都是最後一位中獎，那就沒甚麼好玩，其實只要每個人都出一樣，最後一個人一定出局，看來題目再修正為
現在十個人玩，被數到的人就淘汰出局，每次都是從最小號開始數，假設每次數支總數為十，請問最後勝利者會是誰？這應該有數列可找，有興趣的人請討論留言，以此分辨貢獻度。
這題好像是一條經典的寫程式題目...
刪除被淘汰的人依次為10, 1, 3, 6, 2, 9, 5, 7, 4
勝利者是8
你的答案顯示下一輪是從淘汰者的下一位開始，我的題目是一律從最小號開始。
刪除嗯，這題練習寫程式很適合，尤其是環狀資料結構。
看來可以找兩條不同數列，一個是每次都從做小號開始，另一個是被淘汰者的下一家。
刪除新題目一修正為
有 N 個人玩數支，被數到的人就淘汰出局，每次都是從最小號開始數，假設每次數支總數為 N (剛開始的數值)，請問最後勝利者會是誰？
新題目二為
有 N 個人玩數支，被數到的人就淘汰出局，第一次從 1 號開始，之後為淘汰者的下一位開始數，假設每次數支總數為 N (剛開始的數值)，請問最後勝利者會是誰？
噢噢看錯了(掩面)
刪除應該是10, 1, 3, 5, 7, 9, 4, 2, 8
勝利者是6
不論多少人一定是先淘汰最後和第一人(假設人數等於數支總數)
可以請教一下什麼是環狀資料結構嗎?因為好像之前沒聽說過...是用linked list來實現的嗎?
沒那麼糟，可以當做第二個數列，這數列若排名，你可以當第一順位。
刪除當初 3M 想發明超強膠帶不成，結果產出便利貼一樣。
這個問題確實是需要以 linked list 來實現，而環狀資料結構是指頭尾相接的資料串
剛剛試寫了N=1~12時的情形，在都由編號最小的人開始數的情形下，勝利者依序為1,1,2,2,4,2,6,2,6,6,10,2...
回覆刪除我找到的規律如下，
如z423大提的，第1個淘汰的一定是N號，第2個淘汰的是1號，接著是3,5,7,..一直到最接近N的奇數號為止，
此時已經至少淘汰掉一半以上的人數，剩下的只有偶數號2,4,6,8...，人數<=N/2。
但這之後淘汰的順序就牽涉到N這個數本身有多少個因數，似乎就沒有一個規律可循了。
我找不出一個通解來，還請大家多指教。
聽起來，這題數列或許與質數有些關聯。
刪除Tora 有一則貼文不見，補貼如下
刪除我拿一開始的問題問我朋友，他用SQL把所有可能用窮舉法列出來統計，
http://imgur.com/a/qduy7
果然是MOD(10)=0的次數最高，MOD(10)=5的次數最低。
但是這差距不是那麼的大，所以即使用excel模擬很多次，
肉眼看不出來差距也是正常的。
我想如果今天人數變成100人的時候，第100人和第50人被選中的機率
差距應該會更明顯，但是5的100次方用窮舉法的話可能要算到天荒地老了。
另外站長後面這問題，出局編號依序應該是10,1,3,5,7,9,4,2,8,6所以6號最後出局是獲勝者。
但是除了前面的1,3,5,7,9有規律之外，後面的4,2,8,6規律我還找不出來，哈。
行天下私訊我，提供一個 Python 數支程式大家參考看看
回覆刪除import random
def fingers():
finger=random.randint(1,5)
return finger
x=0
while x <10000:
result=fingers()+fingers()+fingers()+fingers()+fingers()+ \
fingers()+fingers()+fingers()+fingers()+fingers()
print (result%10)
x+=1
網友行天下，程式跑出來的結果如下
回覆刪除https://drive.google.com/file/d/0B_TFWEwZaQ8_WktVQTNiUmFZOFU/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/0B_TFWEwZaQ8_X1E4Yk01TnBSSEE/view?usp=sharing
另外，數列與級數網站 http://web.ntnu.edu.tw/~499412058/series/Sequences.html 站長 潘彥廷，也提供一段 Python 程式
回覆刪除from visual import*
time = 100000
tot_people = 10
def test(time,tot_people):
count = zeros((tot_people))
for i in range(time):
number = sum(ceil(random.rand(10)*5))%tot_people
count[int(number)] += 1
return count/time*10
print test(time,tot_people)
new_count = zeros((tot_people))
for i in range(10):
a = test(time,tot_people)
new_count[a>1.04]+=1
new_count[a>1.03]+=1
new_count[a>1.02]+=1
new_count[a>1.01]+=1
new_count[a>1]+=1
new_count[a<1]-=1
new_count[a<0.999]-=1
new_count[a<0.998]-=1
new_count[a<0.997]-=1
print new_count
下面是潘站長對程式的說明
我使用亂數模擬的方法
ceil(random.rand(10)*5) 是每個人數支出的數字，放置在list內部，並做加總，還有找出餘數，也就是數支最後所選出來的人。
接著進行統計count[int(number)] += 1
當這個程式重複運行time = 100000，這麼多次後，印出每個人被選中的次數。
由於大家被分到的機率是差不多相同的，為了放大這些人機率之間的差異，因此在下方做了一個迴圈來統計多次模擬的結果。
雖然每次的結果不盡相同
不過能夠看到，遠離第一個人的機率似乎會比較小。（離第一個人最遠的並不是第十個是第五個或第六個，因為第十個數完會回到第一個）