2017年2月6日 星期一

訓練數學感 128 ─ 找數列通項 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,...

https://4rdp.blogspot.com/2017/02/128-122333444455555.html

網友赤子西瓜寒假提供一題看似簡單又有深度的題目,就是尋找數列 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, ...  的通項公式,以及這數列的 n 項和。



這問題雖然 OEIS 早有記載,但期待大家想想看如何解題,以及討論這數列各式聯想。

7 則留言:

  1. 設此數列項數為n,則對應第n項的值i有n=(1+i)*i/2
    當求出i不為整數時,需要用進一法取整數位。
    這個“進一法”不知能否用函數表示?

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    1. https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%AB%98%E6%96%AF%E7%AC%A6%E8%99%9F
      請參考看看。

      不過,目前仍然在思考如何不用這個函數,抑或是證明不能不用這個函數解題。

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    2. 我是以直覺答覆這問題,因為這是離散數學,非連續性的問題應該避不開高斯函數。

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    3. 忽然想到,modular arithmetic好像也可以解決此問題。

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    4. Excel表達式
      =ROUNDUP(SQRT(An*2+0.25)-0.5,0)
      An是1,2,3,4,5……的數列

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    5. Modular arithmetic,相當於單純的除法+高斯符號

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    6. 謝謝老師的 Excel 公式

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