2014年10月22日 星期三

訓練數學感 39 ─ 尋找偽幣 (2)

https://4rdp.blogspot.com/2014/10/39-2.html

訓練數學感 35 曾出過一個尋找偽幣的考題,今天提出姊妹題:

有十疊銅板,每疊各有十枚相同的銅板,但是只有一疊全是偽幣,已知真銅板每個重 8 g,而假的每個重 7 g,有一個電子秤能量一公斤物品,解析度達 0.1 g。

試問能不能只秤一次就可以指出偽幣在那堆,最少需要秤幾個銅板?

知能的增長,來自生活問題的解決。

19 則留言:

  1. 分別取出硬幣,共55枚,然後一起秤重。
    第一疊:1枚
    第二疊:2枚
    ...
    第十疊:10枚


    秤得439g => 第一堆為疊幣
    秤得438g => 第二堆為疊幣
    ...
    秤得430g => 第十堆為疊幣

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    1. 嗯,方法正確,但不是最佳解。

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    2. 難道是分別取出硬幣,共45枚,然後一起秤重。
      第一疊:1枚
      第二疊:2枚
      ...
      第九疊:9枚
      第十疊:不取


      秤得359g => 第一疊偽幣
      秤得358g => 第二疊偽幣
      ...
      秤得351g => 第九疊偽幣
      秤得360g => 第十疊偽幣

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    3. 是的,第十堆不取,秤重量最小。

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    4. 最少秤19個就可以了
      雖機挑一疊出來,剩下的九疊各取一個

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    5. 假設這 19 枚測得 151 公克,請問能告訴我它在哪一堆?

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  2. 擴展一下,
    如果可以秤量多於一次的話,
    最小秤量硬幣枚數為:
    2+4+2+1=9枚(4次秤量)
    7+3+3=13枚(3次秤量)
    12+6=18枚(2次秤量)
    超過4次秤量次數,最小的秤量枚數也都是9枚。

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    1. 能否進一步說明,取樣的方法?

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    2. 如果秤量次數可以多於一次的話,我第一個想到的是:
      不妨每堆取1枚,秤1次,這樣秤9枚硬幣,
      共秤9次就可以分辨出哪一堆是僞幣。
      4次秤量也是由此簡化而來的,還是每堆抽1枚,
      第一次秤量2枚,第二次秤量剩下8枚中的4枚,
      第三次秤量剩下4枚中的2枚,最後秤其中1枚。
      給這種秤量方法起個名字,不妨叫做“二分法”。
      所以秤4次,就是2+4+2+1 = 9枚。
      秤4次的話,還有另外兩種秤量次序。由於都是和共9枚,不再贅述。
      3次秤量,每堆取1枚已經做不到了,原因是2^3 = 8 < 10
      需要按照下面方法取:
      1-2-1-1-1-1-1-1-2-1
      其中取1枚的共有8堆,其餘取2。因爲2^3 = 8。
      先秤量前面的1-2-1-1-1,如果僞幣在其中,
      則可根據其奇偶性可以輕易判斷僞幣位置;
      如果不在,那就取剩下的1-1秤,在的話同上,
      不在的話再取剩下的1-2秤,就一定能確定僞幣位置了。
      最小秤量枚數:6+2+3 = 11枚(之前13枚為誤算)。
      2次秤量同理,只是分類方法是:
      1-2-3-1-2-3-1-2-3-1
      因爲2^2 = 4,所以取1枚的最多只能有4堆。
      秤量方法同理。

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    3. 秤量次數和枚數的關係列表如下:
      1……45
      2……18
      3……11
      4……9
      第一次多秤,減少了45-18 = 27枚;
      再多秤一次,又減少18-11 = 7枚;
      又多秤一次,再減少11-9 = 2枚;
      最後直到秤9次,減少枚數均為0枚;
      第10次往後,秤重枚數反而會每次增加1枚(因爲做了重復秤重)。
      這讓我聯想到了邊際收益遞減定律,
      我找到了一篇很有意思的文章,分享如下:
      http://www2.nsysu.edu.tw/debate/images/5-3.html

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    4. 這真是很棒的補充,謝謝你給這麼詳盡的說明,我想很難再有其它地方能有這麼高水準的討論。

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    5. 哎呀,過譽了~
      是因為你的題目開得好啊~~哈哈~
      希望您能繼續把這個Blog做大做強呀~
      一道很簡單的題目,也可以引申出很多東西。
      我一直這樣認爲。
      就像上次給小朋友猜謎語,前兩個猜完,大家紛紛表示早聽過了。
      “草原上來了一群羊。猜一種植物。”“草莓(沒)!”
      “又來了一只狼。”“楊梅!”“好無聊,都聽過了。”
      後面兩個大家沒聽過,就猜不出來了。
      前面說“好無聊”的小朋友也瞪大眼睛表示驚奇。
      “那你接著聽喲~又來了一只熊。猜一種植物”“咦?”“怎麽沒聽過?”
      “又來了一只熊。這次猜一個成語。”“啊!?同一個題目還能猜成語?!”
      以後我再講故事,大家再也不急於說“聽過了”,或者“好無聊”之類的。
      因爲……後面總會有驚喜~~哈哈
      後面兩題放在這裡你也猜猜看,輕鬆一下~

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    6. Linke 你客氣了,多謝你的鼓勵,我會繼續努力蒐集更多有趣的題目,以饗喜歡思考的讀者,目前預估喜歡這個單元的固定讀者應該有百餘人,假以時日並控制好文章品質,一定還會繼續吸納更多人前來。

      大多數的網站題目出來後,只等你答案對或錯,我不希望大家是這樣互動,會成立這個數學單元,是我發現有些讀者想精進數學能力但苦無方法,所以我想出以趣味題目,讓大家無壓力的練習思考,久而久之會培養出思考的能力,而這能力也是研發工程師最需要的基本能力之一。

      關於你的謎語,依據草莓、楊梅的次序,接著應該是 藍莓 (狼沒)、熊沒 的答案,而成語還得想想。
      是啊,許多熟知的東西,經過淬鍊引申,仍然可以有很多變化,趣味無窮。

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    7. 第三個其實是“狼桃”,就是番茄的舊稱。
      因爲他們剛好學到這篇課文——《從狼桃到番茄》。
      不過藍莓的答案也不錯呀~
      第四個成語,由於學校裏除中文外,其它科目都用英文作爲教學語言,所以跟英文發音有關。(笑)
      仔細想來,脫離了小朋友的學習背景,確實挺難猜的。

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    8. 歐,原來番茄又稱為狼桃,又學到新知 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%95%AA%E8%8C%84,謝謝你。

      第四個答案,成語應是「狼狽(bear)為奸」,沒有你的提示,想破頭也想不出來。(哈)

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    9. 可是狼已經“逃”了,怎麽“為奸”呢?
      思考方向是正確的,跟Bear有關。

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    10. 那這真的很難,現在只想到:背信忘義、人才輩出,
      想不出來就:倍感壓力、非常疲憊。 *_* (苦)

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    11. 其實是你想太多啦……
      有一隻bear走過來,有一隻bear過來,有隻bear過來,有隻bear來,有bear來……

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