2021年7月27日 星期二

訓練數學感 299 ─ 線段乘積與向量內積

https://4rdp.blogspot.com/2021/07/299.html

兩個同心半圓,內有任意 AC,DF 兩線段交於小半圓,各 B,E 兩點。
請證明 AB x BC = DE x EF

難度

這個線段乘積關係是 Andy 在這暑假發現的,除了有定值關係,它還跟向量內積有關聯,如下圖,向量 U.V 的內積跟 AB x BC 是等效的,不過請注意夾角超過 90° 內積值為負。


2 則留言:

  1. 圓內兩弦有某一性質, 此性質再依比例性質即可得

    設兩弦之交點為G
    1.圓內兩弦之性質, AG x GC =FG X GD, JG X GB =IG x GE
    以上兩式依比例性質可得 AB x EF = DI x CJ
    2.JG X GB =IG x GE
    上式依比例性質可得 BJ = EI
    3. 1,2 兩式依比例性質可得
    AB x BC= DE x EF




    回覆刪除
    回覆
    1. 抱歉看不懂你的比例性質,不知道是甚麼跟甚麼的比例?
      另外第二點 BJ = EI 結論很奇怪,因為是任意兩弦,BJ,EI 通常是不相等的

      刪除