完整非電腦證明考拉茲猜想 (四) (Collatz conjecture 4)

https://4rdp.blogspot.com/2019/09/collatz-conjecture-4_27.html

續前文(三)，雖然第三篇證明比前兩篇好，但總覺得說明還不夠好，所以希望以較簡潔明瞭的方式證明。

考拉茲函數為  

任意正整數迭代運算後，目前已知結果會出現 fc = 1，今證明之。

證明

因為任一偶數 n 經過除二迭代運算後，最後皆會變成奇數，所以我們專注於奇數的處理。







令 x 為起始奇數，將 n = x 代入


Case 1: 3n+1 ≡ 0 (mod 4)

只要 3n+1 可被 4 整除，可推導出下一個迭代數不會大於起始奇數 x 。

1.a 如果  是奇數，當 

 若  ，那麼下一個迭代數值不會超過起始奇數 x 。

1.b 如果  是偶數，表示可以一直除二，直到成為奇數，



到此已證明，於 3n+1 ≡ 0 (mod 4) 情形下，下一個迭代數不會大於起始奇數 x，另外，








Case 2: 3n+1 ≡ 1 or 3 (mod 4)

如果想獲得餘數為 1 or 3，n 必為偶數，而 n 為偶數，就會被一直除二，直到成為奇數。








Case 3: 3n+1 ≡ 2 (mod 4)

因  為非整數，也表示  是奇數，那麼







將起始奇數 x 迭代入 fc(n) 應可得一漸增數列，












因為 p 是定值，沒有無窮大的 ，所以求解  數列過程中，一定會出現  偶數，
因而進入 Case 1 狀況。


以上分析完  所有狀況，欲證明重複迭代 fc(n) 會產生歸一的結果，如果直接證明 fc(n) 迭代歸一是困難的，那可以考慮兩種情形，一種是 fc(n) 迭代有漸增趨勢，另一種是 fc(n) 迭代有循環情形，只要證明這兩種狀況不存在，就可以說 fc(n) 迭代將會產生歸一狀況。



一、迭代循環

倘若有迭代循環，則必有某最小循環奇數 y，它必是 Case 3 型式，因為 Case 1 奇數的下一個迭代數不會比 y 大，除了 1 無法達成 y 是最小循環奇數條件。

而 Case 3 會產生漸增數值，經過迭代數次之後再除二回到原值 y。

      奇數 n 經過 (3n+1)/2 計算

                遇到偶數 /2 計算

從上面兩式計算過程可知，遇到奇數會一直累積 3 的倍數，這與回歸 y 循環 4, 8, 16, ... 除數完全沒有交集，因此 y 不會出現迭代循環情形。



二、迭代漸減





x 分別代入 1, 2, 3, ...，  皆為 3 的倍數

所以歸納出  為 3 的倍數

無論 Case 1 或 Case 3，當  出現 4 的倍數時

n 可以化約為 ，這將使 n 大幅變小，

又 Case 3 的 n 增幅有限，而它的 4p - 1 型式同 g(x)，這將使 Case 3 多次迭代有機會變小。

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訓練數學感 227 ─ 無限根號

https://4rdp.blogspot.com/2019/09/227.html

難度 ✩✩✩

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完整非電腦證明考拉茲猜想 (三) (Collatz conjecture 3)

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續前文(二)，由於 Case 1 證明還不夠嚴謹，並且 Case 3 證明也不夠清楚，所以再重新以另外形式證明。

考拉茲函數為  

任意正整數迭代運算後，目前已知結果會出現 fc = 1，今證明之。

證明

因為任一偶數 n 經過除二迭代運算後，最後皆會變成奇數，所以我們專注於奇數的處理。







令 x 為起始奇數，將 n = x 代入


Case 1: 3n+1 ≡ 0 (mod 4)

只要 3n+1 可被 4 整除，可推導出下一個迭代數不會大於起始奇數 x 。

1.a 如果  是奇數，當 

 若  ，那麼下一個迭代數值不會超過起始奇數 x 。

1.b 如果  是偶數，表示可以一直除二，直到成為奇數，



到此已證明，於 3n+1 ≡ 0 (mod 4) 情形下，下一個迭代數不會大於起始奇數 x，另外，








Case 2: 3n+1 ≡ 1 or 3 (mod 4)

如果想獲得餘數為 1 or 3，n 必為偶數，而 n 為偶數，就會被一直除二，直到成為奇數。








Case 3: 3n+1 ≡ 2 (mod 4)

因  為非整數，也表示  是奇數，那麼







將起始奇數 x 迭代入 fc(n) 應可得一漸增數列，












因為 p 是定值，沒有無窮大的 ，所以求解  數列過程中，一定會出現  偶數，
因而進入 Case 1 狀況。


觀察下表，將得出下列結論：

藍字為 Case 3，紅字為 Case 1，只要兩個 Case 1 之間沒有 Case 3，就會發現最大的 Case 1 奇數，經過 fc(n) 迭代後，奇數 n 就會逐漸收斂到 1。

起始 n	起始奇數 n	(3n+1)/2
1 2 4 8	1 4(1)-3	2 4(1)-2	1 4(1)-3
3 6 12	3 4(1)-1	5 4(2)-3	8 4(2)-0	1 4(1)-3
5 10	5 4(2)-3	8 4(2)-0	1 4(1)-3
7 14	7 4(2)-1	11 4(3)-1	17 4(5)-3	26 4(7)-2	13 4(4)-3
9	9 4(3)-3	14 4(4)-2	7 4(2)-1	11 4(3)-1	17 4(5)-3
11	11 4(3)-1	17 4(5)-3	26 4(7)-2	13 4(4)-3
13	13 4(4)-3	20 4(5)-0	5 4(2)-3	8 4(2)-0	1 4(1)-3
15	15 4(4)-1	23 4(6)-1	35 4(9)-1	53 4(14)-3	80 4(20)-0	5 4(2)-3

接續證明 Case 1 的迭代收斂，若某數符合 4p-3 形式，



將 (4p-3) 和 (3p-2) 兩數相比較，，符合 

因為起始奇數 x 為定值，所以 p 值也為常數，無論經過多少次 Case 3 將  增大，終將產生一個最大的 Case 1 數值 ，然後就會逐漸收斂到 1。









當 Case 1 迭代並且也無 Case 3 在其中時，p 值是會遞減，最後就歸一了。

故證明所有正整數經過 fc(n) 迭代計算都會歸一。

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