2019年9月19日 星期四

完整非電腦證明考拉茲猜想 (三) (Collatz conjecture 3)

https://4rdp.blogspot.com/2019/09/collatz-conjecture-3.html

續前文(二)，由於 Case 1 證明還不夠嚴謹，並且 Case 3 證明也不夠清楚，所以再重新以另外形式證明。

考拉茲函數為  

任意正整數迭代運算後，目前已知結果會出現 fc = 1，今證明之。

證明

因為任一偶數 n 經過除二迭代運算後，最後皆會變成奇數，所以我們專注於奇數的處理。







令 x 為起始奇數，將 n = x 代入


Case 1: 3n+1 ≡ 0 (mod 4)

只要 3n+1 可被 4 整除，可推導出下一個迭代數不會大於起始奇數 x 。

1.a 如果  是奇數，當 

 若  ，那麼下一個迭代數值不會超過起始奇數 x 。

1.b 如果  是偶數，表示可以一直除二，直到成為奇數，



到此已證明，於 3n+1 ≡ 0 (mod 4) 情形下，下一個迭代數不會大於起始奇數 x，另外，








Case 2: 3n+1 ≡ 1 or 3 (mod 4)

如果想獲得餘數為 1 or 3，n 必為偶數，而 n 為偶數，就會被一直除二，直到成為奇數。






Case 3: 3n+1 ≡ 2 (mod 4)

因  為非整數，也表示  是奇數，那麼





將起始奇數 x 迭代入 fc(n) 應可得一漸增數列，












因為 p 是定值，沒有無窮大的 ，所以求解  數列過程中，一定會出現  偶數，
因而進入 Case 1 狀況。
觀察下表，將得出下列結論：

 藍字為 Case 3，紅字為 Case 1，只要兩個 Case 1 之間沒有 Case 3，就會發現最大的 Case 1 奇數，經過 fc(n) 迭代後，奇數 n 就會逐漸收斂到 1。

起始 n
起始奇數 n
(3n+1)/2




1
2
4
8
1
4(1)-3
2
4(1)-2
1
4(1)-3



3
6
12
3
4(1)-1
5
4(2)-3
8
4(2)-0
1
4(1)-3


5
10
5
4(2)-3
8
4(2)-0
1
4(1)-3



7
14
7
4(2)-1
11
4(3)-1
17
4(5)-3
26
4(7)-2
13
4(4)-3

9
9
4(3)-3
14
4(4)-2
7
4(2)-1
11
4(3)-1
17
4(5)-3

11
11
4(3)-1
17
4(5)-3
26
4(7)-2
13
4(4)-3


13
13
4(4)-3
20
4(5)-0
5
4(2)-3
8
4(2)-0
1
4(1)-3

15
15
4(4)-1
23
4(6)-1
35
4(9)-1
53
4(14)-3
80
4(20)-0
5
4(2)-3

接續證明 Case 1 的迭代收斂，若某數符合 4p-3 形式，



將 (4p-3) 和 (3p-2) 兩數相比較，，符合 

因為起始奇數 x 為定值，所以 p 值也為常數，無論經過多少次 Case 3 將  增大，終將產生一個最大的 Case 1 數值 ，然後就會逐漸收斂到 1。









當 Case 1 迭代並且也無 Case 3 在其中時，p 值是會遞減，最後就歸一了。

故證明所有正整數經過 fc(n) 迭代計算都會歸一。

在第二篇證明時，網友 mnnuahg 指出 Case 1 的邏輯漏洞，就表示 x 不能用最小不歸一奇數的假設，然後不經證明就產出 Case 1 會歸一的結論。

為了證明 Case 1 的歸一，真是想破頭，幸好從上表數值觀察到 Case 1 有數值收斂的情形，不然真的想不出辦法，準備放棄繼續證明。在這第三版證明曾與 Andy 有多次激烈的辯論和內文修改，讓我想起以前讀研究所時，指導教授對畢業論文內容慎重斟酌的情境，所以希望這版證明沒有其它大問題。

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