2009年7月4日 星期六

GPS - Clock Error of Receiver

https://4rdp.blogspot.com/2009/07/gps-clock-error-of-receiver.html

先前 GPS 座標計算一文,許多讀者來文指教,其中 Bernie 指出缺少接收器的時鐘誤差,的確前文假設接收器的時鐘與衛星的時鐘同步,因此本文將加入這項誤差並推導公式。

首先修正
衛星與接收器間的距離 = 光速 x (接收器接收時間 –衛星發射時間 + 接收器時鐘誤差)
也就是
          i 表示衛星編號 1 ~ 4

現在重新列出 GPS 座標計算公式

先用 Bernie 的方式推導

現在先簡單檢驗這四個方程式相互關係,依據線性代數,方程式相互加加減減,並不會影響計算結果,這也就是為什麼可以計算方程式 (5) = (1) - (2),但是用 Bernie的方法,那麼方程式 (5) + (6) + (7) + (8) = 0,將會獲得無解的結果,就沒什麼好奇怪了。

那麼來看看其它算法,可否四顆衛星解出答案?

先看 (B) + (D) = (3) – (1) + (2) – (3) = (2) – (1) = (A),這代表方程式 (D) 是多餘的,因此只有三個有效方程式,但是有四個未知變數,那麼會有無限多組解。

不知道接收器的時鐘誤差時,若有五顆衛星,就可以四元一次方程組求解。




後續推導,一般讀者應該可以自行完成。

如果只有四顆衛星,那能否求解接收器的座標?答案是可以的,我想出三種方法

方法一,求解四個四元二次方程式,這需用 Multidimensional Newton-Raphson 數值方法求解。

方法二,如果在地球表面,將地表當成一個球,可再加入一個新方程式,求解四元一次方程組。

方法三,接收器出廠前,工廠先將時間誤差校正好,也就是生產時求出接收器時鐘誤差,把它紀錄在接收器中,因為這是固定誤差,不會隨時間而變,只是每個接收器的誤差不同,必須個別校驗,使用者使用時就可以求解三元一次方程式。

PS. 如果有些算式過長右邊被遮住,可以點選計算式進一步查閱。

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