數學之美 50 ─ 拉格朗日插值法 (Lagrange polynomial)

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已知 $f(1) = 3$，$f(2) = 5$，$f(3) = 7$，求 $f(x)$ 二次多項式

不過求 $f(x)$ 之前先求 $g(x)$、$h(x)$、$k(x)$

令 $g(1) = 1$，$g(2) = 0$，$g(3) = 0$，

得 $g(x)=\frac{(x-2)(x-3)}{(1-2)(1-3)}$

令 $h(1) = 0$，$h(2) = 1$，$h(3) = 0$，

得 $h(x)=\frac{(x-1)(x-3)}{(2-1)(2-3)}$

再令 $k(1) = 0$，$k(2) = 0$，$k(3) = 1$，

得 $k(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{(3-1)(3-2)}$

最後 $f(x) = 3g(x) + 5h(x) + 7k(x)$

拉格朗日插值法是不用解 $f(x) = ax^{2} + bx + c$ 係數 $abc$，就可以把二次多項式列式出來的方法。

以往我是採 Curve fitting，求出係數後，該多項式就可以直接使用，找時間算一下拉格朗日插值法的多項式最終係數是不是和 Curve fitting 一樣。