暑假將結束來動動腦，準備新學期開始，這是一題經典的幾何數學題目，四邊長各為1的正方形，以四頂角為圓心，畫四弧相交其中，求面積A大小？
新ubuntu2404，新尹倉1120
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Ubuntu24.04
每次ubuntu系統出新版本，我的更新都是滯後的。最新的ubuntu2404.iso已經超過6G，估計是因為加入了大量中文字體致使體積大增。我十多年來一直當作系統盤的4個G的U盤再也裝不下了，最終我決定把一個32G的U盤當系統安裝盤。
昨晚研究了multibootUSB好久，最終引導不...
1 天前
我來試試看：
回覆刪除A+3B+2C = π/4 -----(1)
A+2B+C = π/3 - √3/4 -----(2)
B+2C = 1 - π/4 -----(3)
由(1)-(2):
B+C = √3/4 - π/12 -----(4)
由(3)-(4):
C = 1 - √3/4 - π/3
代入(4):
B = √3/2 - 1 + π/4
將B,C代回(2):
A = 1 - √3 - π/6
Hi Portion,
回覆刪除謝謝您的補充，就是利用解法三的輔助線，將兩個 π/6 的扇形面積相加，再扣除重複的正三角形面積，得到(2)式。
這樣的方法確實可以簡化成三元一次聯立方程式求解，只可惜計算過程 C 與 B 計算錯誤，而得到錯誤的 A 。正確答案應為：
C = 1 - √3/4 - π/6
B = √3/2 - 1 + π/12
A = 1 - √3 + π/3
同事曾參加過某些公司的智力測驗，而將題目問我。我的解答很簡單.
回覆刪除先求各點的座標, 然後 1/4 圓弧線的函數假設是 f(x)=sqrt(r^2-x^2)，圓心位置要略作調整，那麼面積那就是計算積分值.
講很容易，計算起來要用到三角替換，以及反三角函數。絕對有機會會難倒一堆人。
行天下您好，
刪除求各點座標是另一種方法，不過太複雜了，一般人還是喜歡用簡單的方法來解決。
部落格裡還有很多腦力激盪的數學題等待高手破解，歡迎你。
您好：
刪除我的作法其實重點是使用積分這項數學工具，同樣的，使用積分這工具，其他相似類型的題目也就一樣迎刃而解。
這裡是我大概粗略的計算，http://i.imgur.com/m3uqeU2.jpg 我大概要假日才能仔細去計算吧。 其實，很多人學完微積分，學校畢業之後，鮮少用到。遇到這類問題，也會採取小學或中學的作法。就像寫程式一樣，初學者寫出來的小程式，可能還是使用教科書的教學範例的方法，而不考慮到效率或是其他的問題...只是有感而發而已。當然，這個題目，就以畫輔助線，將複雜圖形簡化成為已經教過面積公式解的圖形，如矩形、三角形、圓形、扇形，加加減減，也是正確的做法。
能夠解決問題，無論甚麼方法都可以試看看，據說畢氏定理的證明方法有上百種，也許此題還有其它解題技巧可用。
刪除說到畢氏定理的證明，Bridan 兄有興趣試試看嗎?
刪除畢氏定理證明是很想試看看，不過目前還沒有靈感，你有嗎？還是來個業餘級共同合作？
刪除我腦袋裡面裝了兩種證明方法，一種具象(圖形)，非常直覺而且好記，另一種抽象(代數工具)，有點像是玩數學工具。
刪除使用圖形的話，給個提示，圖形的 "面積"，會用到乘法運算，所以畢氏定理的邊長平方，就可以使用面積這件事情。
這裡有一個畢氏定理證明的網址，http://www.slideshare.net/zergiorubio/elisha-s-loomis-the-pythagorean-proposition，Elisha S. Loomis 在 1968 年出版此書時就列有 370 種證明方法，你所指的邊長平方面積證明，可能在裡面。
刪除有一點要注意，這些證明都沒有使用三角函數，因為三角函數是根據畢氏定理建立起來的。
我使用的方法是 page 49 (文件內的頁數) 方法 35. 另外一個方法使用用向量的內積，向量長度及向量垂直的特性做證明。
刪除經過你的激勵，我也想到一個方法，將同大小的 直角三角形並接在一起，讓 b 邊在一起，三角形面積和 = a * b，這大三角形的三邊長為 (c, c, 2a)，依據海龍公式 Heron's formula，知道三角形三邊長，就可以求出三角形面積， a*b = sqrt(S*(S-c)*(S-c)*(S-2a))，不過想到這個海龍公式，也是用畢氏定理推導出來，就像先有雞還是先有蛋一樣。
刪除關於向量證明法，願聞其詳。
海龍公式已經在我記憶中完全消失了。只有一個印象，得知三角形三邊長可以求得三角形面積這件事情。
刪除畢氏定理使用向量證明的方法如下:
http://i.imgur.com/UARyw1u.jpg
||a|| 符號表是 a 向量的長度。
. 表示向量內積。
用向量證明的方法是純粹且精簡。但是缺點就是這個證明的方法，偏向於運用抽象符號。對於非理工背景的人，向量的觀念有一條難以跨越的鴻溝。
順道一提，中央大學單維彰教授有兩篇文章，頗值得思考。
刪除http://libai.math.ncu.edu.tw/~shann/Lite/essay/9905.pdf
http://libai.math.ncu.edu.tw/~shann/Lite/essay/0203.pdf
其中一段話:
第一條線索讓我們反省：其實，使用平面向量解決的所有數學（幾何）問題，都有更「基本」的方法可以處理。平面向量之所以受教師歡迎，可能是因為它「威力強大」。
已經看到了證明過程，看似無破綻，不過我有個疑問，向量內積的定義 a ● b = |a| |b| cos θ，
刪除因此 a _|_ b = |a| |b| cos (90) = 0，該不該視為三角函數的定義？
是的，在商業應用領域，似乎用不到向量這類數學工具，所以非理工的人就較難理解。單教授所提的平面向量觀念，確實值得深思，有機會好好想想一些應用實例。
謝謝分享。^_^
內積的定義有兩種，一種為代數定義，另一為幾何定義；兩者是等價的。而你列下的定義，是屬於幾何的定義。可參考: http://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product 。
刪除經過一夜好眠，腦子比較清楚，既使有用到cos = a/c 也沒問題，因為 a b 兩者正交，cos 90=0 ，已經無關 c 的數值，這個方法沒問題，確實可以證明畢氏定理！
刪除仔細看歐氏距離的定義，它來自畢氏定理的推導，因此向量證明法，也是雞生蛋，蛋生雞的情況。
刪除http://en.m.wikipedia.org/wiki/Euclidean_length
如果 Bridan 兄對這議題有興趣，可以參考單老師的兩篇文章，配合 MIT Open course 中有關於線性代數的 Lecture 15, 16 來理解向量內積的定義。http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/video-lectures/lecture-15-projections-onto-subspaces/
刪除http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/video-lectures/lecture-16-projection-matrices-and-least-squares/
單老師說了，平面向量的來自於線性代數中有關於向量空間中的向量觀念的簡化。而向量的內積運算，實際上是 Projection (投射、或者稱為投影)的結果。 我這裡先撇開抽象數學的部分，以物理來講，W=F●S; 功 = 力向量內積位移向量. 這個算式，兩個向量內積之後，怎麼變成一個純量呢? 原因就是如同 open course 中所提到的 projection.
正好上面的那兩段影片，可以提供Bridan 兄有關於 GPS 定位文章中，計算近似解的推導的知識。
仔細瀏覽後再討論心得，謝謝你的分享。
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