續前文(四)，雖然在 2019 年並未成功證明考拉茲猜想，不過近期有新的思路嘗試想再次證明它，這一次把數值十進位轉換成二進位，就比較容易解析與理解。
考拉茲函數為 =\left\{\begin{matrix}&space;n/2,\;&space;if&space;\;&space;n\equiv&space;0\\&space;3n+1,\;&space;if&space;\;&space;n\equiv&space;1&space;\end{matrix}\right.(mod&space;\;&space;2),\;&space;\;&space;\;&space;n\in&space;\mathbb{N}^{+} "f_{c}(n)=\left\{\begin{matrix} n/2,\; if \; n\equiv 0\\ 3n+1,\; if \; n\equiv 1 \end{matrix}\right.(mod \; 2),\; \; \; n\in \mathbb{N}^{+}")
任意正整數迭代運算後，目前已知結果會出現 fc = 1，今試證明之。
任意正整數迭代運算後，目前已知結果會出現 fc = 1，今試證明之。
在進行任何證明之前，先分析二進位數值的特性：
特性一，當最右邊的位元為 0 時，數值為偶數，反之為奇數，
例如 4 = 0b100，9 = 0b1001
特性二，將偶數除以二，相當於把二進位數值做往右移動一個位元，
例如 12 / 2 = 6 (12 = 0b1100 --> 6 = 0b110)
特性三，最右邊連續非 0 位元乘 3 加 1，會把這些連續非 0 位元數量減少一個，
並補入一個 1 在左邊及兩個 0 夾在原來位元外側，例如
1 x 3 + 1 = 4 (1 = 0b01 --> 4 = 0b100)
3 x 3 + 1 = 10 (3 = 0b011 --> 10 = 0b1010)
7 x 3 + 1 = 22 (7 = 0b0111 --> 22 = 0b10110)
特性四，最右邊連續 01 位元乘 3 加 1，會被消除成 00 位元，例如
5 x 3 + 1 = 16 (5 = 0b0101 --> 16 = 0b10000)
21 x 3 + 1 = 64 (21 = 0b010101 --> 64 = 0b1000000)
85 x 3 + 1 = 256 (21 = 0b01010101 --> 256 = 0b100000000)
特性五，非右邊連續非 0 位元乘 3，但是不受加 1 進位影響時，
它會在左右兩個 1 之間各插入一個 0，例如
0b.....010..... --> 0b...110.....
0b.....0110..... --> 0b...10010.....
0b.....01110..... --> 0b...101010.....
0b.....011110..... --> 0b...1011010.....
有了以上分析工具，來看幾個例子，
例一
23 = 0b10111
x3+1
--------------------------
10101
11 1
==========================
70 = 0b1000110
/2 = 35 = 0b100011
x3+1
-------------------------
01001
11 1
=========================
106 = 0b1101010
/2 = 53 = 0b110101
x3+1
------------------------
1111
1001 1
========================
160 = 0b10100000
/32 = 5 = 0b101
x3+1
-------------------
1111
1
===================
16 = 0b10000
/16 = 1 = 0b1
例二
237 = 0b11101101
x3+1
---------------------------------------
10101 11
1001 1
=======================================
712 = 0b1011001000
/8 = 89 = 0b1011001
x3+1
------------------------------------
11 11
1001 1
====================================
268 = 0b100001100
/4 = 67 = 0b1000011
x3+1
----------------------------------
1001
11 1
==================================
202 = 0b11001010
/2 = 101 = 0b1100101
x3+1
---------------------------------
1111
1001 1
=================================
304 = 0b100110000
/16 = 19 = 0b10011
x3+1
-----------------------------
1001
11 1
=============================
58 = 0b111010
/2 = 29 = 0b11101
x3+1
----------------------------
11
10101 1
============================
88 = 0b1011000
/8 = 11 = 0b1011
x3+1
-------------------------
1001
11 1
=========================
34 = 0b100010
/2 = 17 = 0b10001
x3+1
------------------------
11
11 1
========================
52 = 0b110100
/4 = 13 = 0b1101
x3+1
----------------------
11
1001 1
======================
40 = 0b101000
/8 = 5 = 0b101
x3+1
-------------------
1111
1
===================
16 = 0b10000
/16 = 1 = 0b1
由上述例子可以了解，特性二可以消滅偶數右邊的 0，特性三可以每次消滅右邊一個 1，特性四可以快速消滅右邊 01 連續組合，雖然特性五每次會對單獨 1 增生一個 1，但是可能遇到進位而又被消除，總體而言，被消滅的位元比增生的 1 多很多，所以會產生歸一的現象。
可惜我數學功力不夠，只能以非數學語言闡述觀察到的現象，這篇文章算不上數學證明，不過透過二進位數值解析，比較容易理解考拉茲猜想現象。
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