這題是我的同學在 Line 中出題的，改了一下內容，
每瓶汽水兩元，老板為了促銷，蒐集四個瓶蓋可以換一瓶汽水，蒐集兩個瓶身也可以再換一瓶汽水，請問二十元可以喝幾瓶汽水？
難度 ✩✩
不過說真的，如果真有人這樣賣汽水，那會倒店！喝的人會喝到撐X！不然那汽水的成本非常非常的低。
對了，汽水中我最喜歡雪碧，在住家附近的家樂福，常看見一個大型廣告，就是綠茶口味的雪碧，可是都沒賣！？有誰喝過？
另外警告愛玩電動的人，「雪碧」飲料不適合邊玩邊飲用，因為‧‧‧‧‧
2016.2.18 補述，網友行天下私訊，台大張鎮華教授在數學傳播 第39卷第1期 (153), 2015寫文，現在終於明白為什麼這篇網誌超過萬人點閱！
對了，汽水中我最喜歡雪碧，在住家附近的家樂福，常看見一個大型廣告，就是綠茶口味的雪碧，可是都沒賣！？有誰喝過？
另外警告愛玩電動的人，「雪碧」飲料不適合邊玩邊飲用，因為‧‧‧‧‧
2016.2.18 補述，網友行天下私訊，台大張鎮華教授在數學傳播 第39卷第1期 (153), 2015寫文，現在終於明白為什麼這篇網誌超過萬人點閱！
Linke,
回覆刪除謝謝你如此豐富內容補充。上週日網友行天下來台北辦事，我和他速食店碰面聊天，我的小朋友在旁作亂，就出這題考他，這題兩個答案，小朋友沒耐心算，並未算出正確答案，而行天下馬上列式算出最佳解 40 瓶，令人佩服，我只會土法煉鋼 35 瓶，能想出以借貸方式獲得最佳解的人，有過人的智慧。
以下為行天下電郵給我的解答
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瓶蓋瓶身換汽水問題...
回家 google 了一下:
https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1401384550.A.E3D.html
35 瓶與 40 瓶答案都有.
但是仔細一想，40瓶(就我計算的方法)
我計算的是一瓶汽水的實際價值。
忽略掉一件事情， 當收集 4 瓶蓋換一瓶汽水之時，要做的事情是 4 瓶蓋 = 1 瓶汽水 + 1個瓶蓋 + 1 個空瓶
而非我簡化之後的式子: 4 瓶蓋 = 1 瓶汽水
這會變成數學上面的差分方程，或稱為遞迴 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%81%9E%E8%BF%B4%E9%97%9C%E4%BF%82%E5%BC%8F
兩個變數，兩個遞迴式子....
嘿嘿， 這還真不知道怎麼變成式子解
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目前我感興趣的是這題的通解，例如 10 元可以喝多少？ 30 元可以喝多少？
按我之前設X和Y求出的答案，1瓶蓋 = 1 單位的汽水，1瓶身 = 2 單位汽水。
回覆刪除2元就能喝到4單位汽水。實際操作時借3瓶蓋和1瓶身再歸還即可。
推廣下去，10元就能喝到20單位的汽水，30元就能喝到60單位的汽水。
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我想提一個新的通解問題，關於最少借貸：
用20元買回來的汽水，最少需要借2個瓶蓋和1個瓶身
（價值為4單位汽水），先可達至最優解；
用2元買回來的汽水，最少需要借1個瓶蓋和2個瓶身
或3個瓶蓋和1個瓶身（價值為5單位汽水），先可達至最優解。
那麽10元和30元呢？
目前需要求解的是剩餘瓶子和瓶蓋的數量，以及借貸的方式。想求這個通解，需要傷一下腦筋。
回覆刪除真不好意思。需要訂正一下:
回覆刪除>>這會變成數學上面的差分方程
如果瓶蓋、瓶身的價格是個函數的話，才會變成差分方程。
照這原始題目，瓶蓋、瓶身的價格是固定的，所以原題目依照 Linke 的解法計算就可以了。
通解的話，這下還真的需要傷下腦筋。
以我的習性，整理一個試算表尋找通解規則。
回覆刪除通解 --> 金額 *2 -5
回覆刪除這式子，只適合無借貸，有四元以上的情形。
刪除請問，你是如何推導通解算式？
用一個函數關係來描述 f(N)為瓶數 N為金額
刪除f(4)=3,f(6)=7,f(8)=11.........可知為線性關係，則可推得公式為2N-5
從不同金額的操作可發現，最後都會剩1個瓶蓋和3個瓶身，每增加一瓶(2元)，可多得4瓶。
亦可從等差數列推算公式。
謝謝 math charming 補充。
刪除從條件2瓶蓋=1酒=4空瓶=2元，可得1瓶蓋=1/2酒=1元，1空瓶=1/4酒=0.5元。一瓶蓋成本相當一元，可以想成跟老闆換錢，空瓶相當於0.5元，所以實際買酒只需0.5元。但買酒花0.5元前提是須有足夠條件老闆才肯退錢。所以推導出最後必剩1瓶蓋3空瓶（待會證明）不足條件退錢。所以得扣1（瓶蓋）+1.5（3瓶蓋）元這些錢，最後剩17.5元/0.5元-瓶=35瓶
回覆刪除這其實很有趣，可以先從1瓶推起，剩1蓋1瓶。2瓶酒，得2瓶蓋換1瓶最後會只剩1瓶蓋3空瓶。再加一瓶呢變3瓶，兩瓶結果（1瓶蓋3空瓶）推，變成2瓶蓋4空瓶，又會只剩1瓶蓋3空瓶。4瓶，一樣從3瓶結果推會變成1瓶蓋3空瓶！所以證明無論如何必剩1瓶蓋3空瓶。又每增1瓶可再換三瓶，證明：當老闆會賠死⋯哈哈
回覆刪除又可推出一等差公式：2瓶酒可換3瓶、3瓶酒換7瓶、4瓶換11瓶——》得換酒公式4（x-2）+3，x為買酒瓶數且x大於等於2瓶。最後20元可以買10瓶，x=10代入4（10-2）+3=35，結束。
回覆刪除又可以推y元，可買x瓶，得x=y/2且y定義為2之倍數。得4（y/2-2)+3=2y-5，得公式瓶數=2倍價錢-5所以，2X20-5=35
回覆刪除Justin 謝謝你的補述。
刪除近日觀察到這題文章流量大增，請問是從何處得知，吸引您前來？
瓶數 算法：換到的飲料總瓶數(剩下的瓶蓋+剩下的瓶身)
回覆刪除1瓶 1(1+1)
2瓶 2(2+2)→3(1+3)
3瓶 4(2+4)→6(2+2)→7(1+3) ............借用2瓶的結果3(1+3)再多一瓶成為4(2+4)
3(3+3)→4(2+4)→6(2+2)→7(1+3) ............土法煉鋼，從頭算起
4瓶 8(2+4)→10(2+2)→11(1+3)
4(4+4)→7(3+3)→8(2+4)→10(2+2)→11(1+3)
5瓶 12(2+4)→14(2+2)→15(1+3)
5(5+5)→8(4+4)→11(3+3)→12(2+4)→14(2+2)→15(1+3)
6瓶 16(2+4)→18(2+2)→19(1+3)
6(6+6)→10(4+6)→13(3+5)→15(3+3)→16(2+4)→18(2+2)→19(1+3)
7瓶 20(2+4)→22(2+2)→23(1+3)
7(7+7)→11(5+7)→14(4+6)→17(3+5)→19(3+3)→20(2+4)→22(2+2)→23(1+3)
8瓶 24(2+4)→26(2+2)→27(1+3)
8(8+8)→14(6+6)→18(4+6)→21(3+5)→23(3+3)→24(2+4)→26(2+2)→27(1+3)
…………
從上面的算式可以發現一個規則，即不管買幾瓶，最後都會剩一個瓶蓋和三個空瓶
若依據題目的條件，我們把一瓶2元的飲料視為個部分都代表特定的價值，則一個瓶蓋的價值是1元(因為兩個瓶蓋可以換一瓶2元的飲料)及一個空瓶的價值是0.5元(因為四個空瓶可以換一瓶2元的飲料)及瓶中飲料的價值為0.5元(2-1-0.5=0.5)
所以手上最後會剩下總價值2.5元(1*1+0.5*3=2.5)的東西，而這2.5元是無法被利用的物品(非2.5元現金)
因此表示一開始身上的20元，共有17.5元(20-2.5=17.5)拿去換飲料啦
因為瓶中飲料的價值為0.5元
所以17.5(元)÷0.5(元/瓶)=35(瓶)
正曄，謝謝你補充資料。能請問你從何得知這個部落格？
刪除補充汽水問題的通解，
回覆刪除https://docs.google.com/forms/d/1kKc617kTQVcyzlmqZpjnBAiVcbYUIOz6wUNMEdj6uIY/viewform
由試算表可知，剩餘瓶蓋與瓶身只有兩種狀況，如何喝到最多汽水，解答就在上面的討論。