2014年6月25日 星期三

訓練數學感 23 ─ 可以喝多少瓶汽水?

http://4rdp.blogspot.com/2014/06/23.html


這題是我的同學在 Line 中出題的,改了一下內容,

每瓶汽水兩元,老板為了促銷,蒐集四個瓶蓋可以換一瓶汽水,蒐集兩個瓶身也可以再換一瓶汽水,請問二十元可以喝幾瓶汽水?

不過說真的,如果真有人這樣賣汽水,那會倒店!喝的人會喝到撐X!不然那汽水的成本非常非常的低。

對了,汽水中我最喜歡雪碧,在住家附近的家樂福,常看見一個大型廣告,就是綠茶口味的雪碧,可是都沒賣!?有誰喝過?

另外警告愛玩電動的人,「雪碧」飲料不適合邊玩邊飲用,因為‧‧‧‧‧

2016.2.18 補述,網友行天下私訊,台大張鎮華教授在數學傳播 第39卷第1期 (153), 2015寫文,現在終於明白為什麼這篇網誌超過萬人點閱!

18 則留言:

  1. 兩元 = 一個瓶蓋 + 一個瓶身 + 一瓶容量的汽水;
    四個瓶蓋 = 一個瓶蓋 + 一個瓶身 + 一瓶容量的汽水;
    兩個瓶身 = 一個瓶蓋 + 一個瓶身 + 一瓶容量的汽水。
    設瓶蓋為X,瓶身為Y,
    4X = X + Y + 1;
    2Y = X + Y + 1。
    聯立消去:
    Y = 3X - 1
    Y = X + 1
    得出:
    X = 1;
    Y = 2。
    所以,兩元最多可以喝到1+2+1=4 瓶汽水,
    那麽20元就可以喝到40瓶汽水。
    當然,這只是一個理論值,如果題目到這裡便結束會無趣很多。
    ----------------------------------------------------------------
    實際操作一下會發現……
    當10-〉7-〉5-〉4-〉3-〉2-〉1-〉2-〉1,
    也就是喝完35瓶的時候,
    只剩下了3個瓶蓋和1個瓶身,已經不夠兌換條件了……
    答到這裡,其實可以給100了,但仍未夠滿分。
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    http://lifestyle.etnet.com.hk/column/index.php/wealth/femaleinvestment/20831
    《有借有還才有信貸紀錄》2013-10-30
    這篇關於房貸信用的科普文章,當中提到:
    “如果妳從來未借過錢,妳的信貸評分未必會高過一個曾經借過錢,但重要是準時還款的人。
    無他,因為銀行根本無從判斷妳的還款「業績」
    (還款能力可以客觀判斷到,但還款紀錄則未必能估計)。
    相反,一個有借有還的人,才是銀行最想要的客仔。”
    小朋友當然沒有能力貸款買樓,但是忘記帶橡皮或是弄丟了鉛筆卻是常事。
    如果說第一次借別人鉛筆的時候,別的小朋友仍心存疑慮的話,
    當你準時完好地歸還之後,第二次再借的時候就會順利很多。
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    講回剛才的汽水,喝完35瓶後還剩下3個瓶蓋和1個瓶身。
    先找同學陳大文借1個瓶蓋,湊成4個瓶蓋去換一瓶來喝。(+1)
    把借的1個瓶蓋還回去,【友好度小UP】~
    剩下的瓶身又可以和新得到的瓶身湊成2個,再換一瓶喝。(+2)
    (此時,手中剩1個瓶蓋和1個瓶身)
    再找陳大文借1個瓶身(貸款金額加大咯~~)去換汽水,喝完。(+3)
    還掉瓶身,【友好度UP】~【朋友關係確立】~(剩下2個瓶蓋)
    再找陳大文和他的妹妹每人借1個瓶蓋,【結識陳小妹】~再咕嘰咕嘰消滅一瓶。(+4)
    還掉陳小妹的1個瓶蓋,再用相同步驟向她借1個瓶身……後面你懂的……(+5)
    最後,還清所有拖欠的瓶蓋和瓶身,正好!

    試想一位同學,拿著廿元,除了喝到40瓶飲品外,還交了朋友,識了女仔……
    此等友仔不給他滿分,還能給誰呢?

    (劉備笑而不語……)

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    1. Linke,

      謝謝你如此豐富內容補充。上週日網友行天下來台北辦事,我和他速食店碰面聊天,我的小朋友在旁作亂,就出這題考他,這題兩個答案,小朋友沒耐心算,並未算出正確答案,而行天下馬上列式算出最佳解 40 瓶,令人佩服,我只會土法煉鋼 35 瓶,能想出以借貸方式獲得最佳解的人,有過人的智慧。

      以下為行天下電郵給我的解答
      =================================================
      瓶蓋瓶身換汽水問題...

      回家 google 了一下:

      https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1401384550.A.E3D.html

      35 瓶與 40 瓶答案都有.

      但是仔細一想,40瓶(就我計算的方法)

      我計算的是一瓶汽水的實際價值。

      忽略掉一件事情, 當收集 4 瓶蓋換一瓶汽水之時,要做的事情是 4 瓶蓋 = 1 瓶汽水 + 1個瓶蓋 + 1 個空瓶
      而非我簡化之後的式子: 4 瓶蓋 = 1 瓶汽水

      這會變成數學上面的差分方程,或稱為遞迴 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%81%9E%E8%BF%B4%E9%97%9C%E4%BF%82%E5%BC%8F

      兩個變數,兩個遞迴式子....
      嘿嘿, 這還真不知道怎麼變成式子解
      ====================================================

      目前我感興趣的是這題的通解,例如 10 元可以喝多少? 30 元可以喝多少?

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    2. 按我之前設X和Y求出的答案,1瓶蓋 = 1 單位的汽水,1瓶身 = 2 單位汽水。
      2元就能喝到4單位汽水。實際操作時借3瓶蓋和1瓶身再歸還即可。
      推廣下去,10元就能喝到20單位的汽水,30元就能喝到60單位的汽水。
      ----------------------------------------------------------------
      我想提一個新的通解問題,關於最少借貸:
      用20元買回來的汽水,最少需要借2個瓶蓋和1個瓶身
      (價值為4單位汽水),先可達至最優解;
      用2元買回來的汽水,最少需要借1個瓶蓋和2個瓶身
      或3個瓶蓋和1個瓶身(價值為5單位汽水),先可達至最優解。
      那麽10元和30元呢?

      刪除
  2. 目前需要求解的是剩餘瓶子和瓶蓋的數量,以及借貸的方式。想求這個通解,需要傷一下腦筋。

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  3. 真不好意思。需要訂正一下:
    >>這會變成數學上面的差分方程
    如果瓶蓋、瓶身的價格是個函數的話,才會變成差分方程。
    照這原始題目,瓶蓋、瓶身的價格是固定的,所以原題目依照 Linke 的解法計算就可以了。

    通解的話,這下還真的需要傷下腦筋。

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  4. 以我的習性,整理一個試算表尋找通解規則。

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    1. 這式子,只適合無借貸,有四元以上的情形。
      請問,你是如何推導通解算式?

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    2. 用一個函數關係來描述 f(N)為瓶數 N為金額
      f(4)=3,f(6)=7,f(8)=11.........可知為線性關係,則可推得公式為2N-5
      從不同金額的操作可發現,最後都會剩1個瓶蓋和3個瓶身,每增加一瓶(2元),可多得4瓶。
      亦可從等差數列推算公式。

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    3. 謝謝 math charming 補充。

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  6. 從條件2瓶蓋=1酒=4空瓶=2元,可得1瓶蓋=1/2酒=1元,1空瓶=1/4酒=0.5元。一瓶蓋成本相當一元,可以想成跟老闆換錢,空瓶相當於0.5元,所以實際買酒只需0.5元。但買酒花0.5元前提是須有足夠條件老闆才肯退錢。所以推導出最後必剩1瓶蓋3空瓶(待會證明)不足條件退錢。所以得扣1(瓶蓋)+1.5(3瓶蓋)元這些錢,最後剩17.5元/0.5元-瓶=35瓶

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  7. 這其實很有趣,可以先從1瓶推起,剩1蓋1瓶。2瓶酒,得2瓶蓋換1瓶最後會只剩1瓶蓋3空瓶。再加一瓶呢變3瓶,兩瓶結果(1瓶蓋3空瓶)推,變成2瓶蓋4空瓶,又會只剩1瓶蓋3空瓶。4瓶,一樣從3瓶結果推會變成1瓶蓋3空瓶!所以證明無論如何必剩1瓶蓋3空瓶。又每增1瓶可再換三瓶,證明:當老闆會賠死⋯哈哈

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  8. 又可推出一等差公式:2瓶酒可換3瓶、3瓶酒換7瓶、4瓶換11瓶——》得換酒公式4(x-2)+3,x為買酒瓶數且x大於等於2瓶。最後20元可以買10瓶,x=10代入4(10-2)+3=35,結束。

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  9. 又可以推y元,可買x瓶,得x=y/2且y定義為2之倍數。得4(y/2-2)+3=2y-5,得公式瓶數=2倍價錢-5所以,2X20-5=35

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    1. Justin 謝謝你的補述。

      近日觀察到這題文章流量大增,請問是從何處得知,吸引您前來?

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  10. 瓶數 算法:換到的飲料總瓶數(剩下的瓶蓋+剩下的瓶身)
    1瓶 1(1+1)
    2瓶 2(2+2)→3(1+3)
    3瓶 4(2+4)→6(2+2)→7(1+3) ............借用2瓶的結果3(1+3)再多一瓶成為4(2+4)
    3(3+3)→4(2+4)→6(2+2)→7(1+3) ............土法煉鋼,從頭算起
    4瓶 8(2+4)→10(2+2)→11(1+3)
    4(4+4)→7(3+3)→8(2+4)→10(2+2)→11(1+3)
    5瓶 12(2+4)→14(2+2)→15(1+3)
    5(5+5)→8(4+4)→11(3+3)→12(2+4)→14(2+2)→15(1+3)
    6瓶 16(2+4)→18(2+2)→19(1+3)
    6(6+6)→10(4+6)→13(3+5)→15(3+3)→16(2+4)→18(2+2)→19(1+3)
    7瓶 20(2+4)→22(2+2)→23(1+3)
    7(7+7)→11(5+7)→14(4+6)→17(3+5)→19(3+3)→20(2+4)→22(2+2)→23(1+3)
    8瓶 24(2+4)→26(2+2)→27(1+3)
    8(8+8)→14(6+6)→18(4+6)→21(3+5)→23(3+3)→24(2+4)→26(2+2)→27(1+3)
    …………
    從上面的算式可以發現一個規則,即不管買幾瓶,最後都會剩一個瓶蓋和三個空瓶
    若依據題目的條件,我們把一瓶2元的飲料視為個部分都代表特定的價值,則一個瓶蓋的價值是1元(因為兩個瓶蓋可以換一瓶2元的飲料)及一個空瓶的價值是0.5元(因為四個空瓶可以換一瓶2元的飲料)及瓶中飲料的價值為0.5元(2-1-0.5=0.5)
    所以手上最後會剩下總價值2.5元(1*1+0.5*3=2.5)的東西,而這2.5元是無法被利用的物品(非2.5元現金)
    因此表示一開始身上的20元,共有17.5元(20-2.5=17.5)拿去換飲料啦
    因為瓶中飲料的價值為0.5元
    所以17.5(元)÷0.5(元/瓶)=35(瓶)

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    1. 正曄,謝謝你補充資料。能請問你從何得知這個部落格?

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  11. 補充汽水問題的通解,
    https://docs.google.com/forms/d/1kKc617kTQVcyzlmqZpjnBAiVcbYUIOz6wUNMEdj6uIY/viewform
    由試算表可知,剩餘瓶蓋與瓶身只有兩種狀況,如何喝到最多汽水,解答就在上面的討論。

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