2019年10月21日 星期一

BBS 14-1 第四門新花迫叫

http://4rdp.blogspot.com/2019/10/bbs-14-1.html

特約由來:一蓋一答叫後,我們對於答叫人第二次跳叫 (不含跳叫新花) 都當成邀請,
                    所以我們用第四門新花來處理所有一定能成局 (甚至有滿貫可能) 的牌,
                    或是答叫者懷疑打何種合約時,就經常使用。
                    第四門新花是人為的,它並不保證在該門花色上有任何長度或強度。

1C   1D
1H   1S
1C   1H
1S   2D
1D   1S
2C   2H
1D   1H
2C   2S
1H   2D
2H   2S (虛擬)
只迫叫一圈
其它皆迫成局叫

開叫者:在第四門新花之後,應嘗試精確地表示手中牌情。

1. 再叫自己的牌組,不外乎六四或五五以上牌型。
2. 第四門新花至少一檔,至少 QXX 以上,蓋叫無王 13-15 點,跳叫無王 16-18 點,
    無其它適當叫品時,可以接受 JXX。
3. 加叫同伴第一門花色,通常三張支持,跳加叫同伴的第一門花色 16-18 點,三張支持。
4. 加叫第四門花色必須四張支持,迫叫 (等候同伴澄清手中牌情)。
    如開叫人的牌需在四線低花加叫時,通常答叫 3NT,除非不適合打無王,
    才直接加叫低花。注意不要直接加叫成局,因為第四門花色不保證。 
5. 當不合上述牌情時,可再叫自己五張牌組,或二張支持同伴的第一門花色。

2019年10月17日 星期四

訓練數學感 229 ─ 橋牌的牌型分佈

http://4rdp.blogspot.com/2019/10/228_17.html

玩橋牌需要四位玩家,會把 52 張牌充分洗牌後,每個玩家分得 13 張牌,我們會把手牌依花色整理並計數張數,請計算拿到下列牌型的機率:
4333
4432
4441
5332
5422
5431
5440
5521
5530
6511
6421
6430

2019年10月13日 星期日

曾慶耀教授的自動控制原理概述

http://4rdp.blogspot.com/2019/10/blog-post_13.html

研發養成所的專業文章中,最熱門的應屬自動控制類文章,那曾教授的文章更是經典中的經典,請大家細細品味:






2019年10月9日 星期三

曾慶耀教授在FB上的雜談

http://4rdp.blogspot.com/2019/10/fb.html

2019.10.4 與曾慶耀教授 (左) 合影

曾教授是我就讀海洋大學時航運技術研究所時的指導教授,多年前已從學校榮退,旅居澳洲,直到近日因為 FB 相遇而聯繫上。

老師留學美國休士頓 Rice University 機械工程,1991年回台教學,很榮幸能成為他的第一位碩士班學生,記得當時研修系統鑑定 (System Identification) 只有兩三個研究生,在海洋大學的操船模擬室內上課,還好有點數學底子,不然這門課程很難熬過。另外印象特別深刻,在那還沒有網際網路的時代,只有一個學生上課也照開,期末考老師給了一張考卷,讓我帶回去寫一天一夜,真的是一天寫一整頁,沒有人可以問。平日每天下午都會到教授研究室報到,除了討論論文外,我還記得曾在這裡安裝電腦網路、架設工作站、雷射列表機等。而老師熱愛球類運動,晴天就網球,雨天就籃球。可惜這個研究室在我畢業後被颱風淹水過,老師損失許多專業書籍,就遷移到延平技術大樓。

瀏覽一下老師 FB,有幾篇雜談蠻有趣的,先記下聯結,關於微積分、自動控制、教學的想法,有空可以品味:
https://www.facebook.com/chingyaw.tzeng/posts/636283219832266  微積分一
https://www.facebook.com/chingyaw.tzeng/posts/657447727715815  微積分二
https://www.facebook.com/chingyaw.tzeng/posts/663155933811661  自動控制一
https://www.facebook.com/chingyaw.tzeng/posts/759855520808368  數學聯想
https://www.facebook.com/chingyaw.tzeng/posts/958691640924754  自動控制二
https://www.facebook.com/chingyaw.tzeng/posts/1053876028072981  學習
https://www.facebook.com/chingyaw.tzeng/posts/1056647924462458  教學
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=1354734144653833&set=a.696817317112189&type=3&theater  聯想

2019年10月5日 星期六

訓練數學感 228 ─ 四面體最大體積

http://4rdp.blogspot.com/2019/10/228.html

已知四面體的六個邉長為 2, 3, 3, 4, 5, 5,請問這四面體最大體積多少?

2019年10月1日 星期二

觸觸危機桌遊玩法解說影片 (Crisis on Touching)

http://4rdp.blogspot.com/2019/10/crisis-on-touching.html


這個影片拖了很久,現在終於上傳,希望之前 150 桌遊網購的朋友們,可以透過影片解說了解觸觸危機的遊戲流程。

影片使用 v1.3 的遊戲規則,這差不多定型了,剩下是遊戲版圖調整的問題。

2019年9月27日 星期五

完整非電腦證明考拉茲猜想 (四) (Collatz conjecture 4)

http://4rdp.blogspot.com/2019/09/collatz-conjecture-4_27.html

前文(三),雖然第三篇證明比前兩篇好,但總覺得說明還不夠好,所以希望以較簡潔明瞭的方式證明。

考拉茲函數為  

任意正整數迭代運算後,目前已知結果會出現 fc = 1,今證明之。

證明

因為任一偶數 n 經過除二迭代運算後,最後皆會變成奇數,所以我們專注於奇數的處理。







令 x 為起始奇數,將 n = x 代入


Case 1: 3n+1 ≡ 0 (mod 4)

只要 3n+1 可被 4 整除,可推導出下一個迭代數不會大於起始奇數 x 。

1.a 如果  是奇數,當 

 若  ,那麼下一個迭代數值不會超過起始奇數 x 。

1.b 如果  是偶數,表示可以一直除二,直到成為奇數,



到此已證明,於 3n+1 ≡ 0 (mod 4) 情形下,下一個迭代數不會大於起始奇數 x,另外,








Case 2: 3n+1 ≡ 1 or 3 (mod 4)

如果想獲得餘數為 1 or 3,n 必為偶數,而 n 為偶數,就會被一直除二,直到成為奇數。








Case 3: 3n+1 ≡ 2 (mod 4)

因  為非整數,也表示  是奇數,那麼







將起始奇數 x 迭代入 fc(n) 應可得一漸增數列,












因為 p 是定值,沒有無窮大的 ,所以求解  數列過程中,一定會出現  偶數,
因而進入 Case 1 狀況。


以上分析完  所有狀況,欲證明重複迭代 fc(n) 會產生歸一的結果,如果直接證明 fc(n) 迭代歸一是困難的,那可以考慮兩種情形,一種是 fc(n) 迭代有漸增趨勢,另一種是 fc(n) 迭代有循環情形,只要證明這兩種狀況不存在,就可以說 fc(n) 迭代將會產生歸一狀況。



一、迭代循環

倘若有迭代循環,則必有某最小循環奇數 y,它必是 Case 3 型式,因為 Case 1 奇數的下一個迭代數不會比 y 大,除了 1 無法達成 y 是最小循環奇數條件。

而 Case 3 會產生漸增數值,經過迭代數次之後再除二回到原值 y。

      奇數 n 經過 (3n+1)/2 計算

                遇到偶數 /2 計算

從上面兩式計算過程可知,遇到奇數會一直累積 3 的倍數,這與回歸 y 循環 4, 8, 16, ... 除數完全沒有交集,因此 y 不會出現迭代循環情形。



二、迭代漸減





x 分別代入 1, 2, 3, ...,  皆為 3 的倍數

所以歸納出  為 3 的倍數

無論 Case 1 或 Case 3,當  出現 4 的倍數時

n 可以化約為 ,這將使 n 大幅變小,

又 Case 3 的 n 增幅有限,而它的 4p - 1 型式同 g(x),這將使 Case 3 多次迭代有機會變小。


2019年9月23日 星期一

訓練數學感 227 ─ 無限根號

http://4rdp.blogspot.com/2019/09/227.html



2019年9月19日 星期四

完整非電腦證明考拉茲猜想 (三) (Collatz conjecture 3)

http://4rdp.blogspot.com/2019/09/collatz-conjecture-3.html

前文(二),由於 Case 1 證明還不夠嚴謹,並且 Case 3 證明也不夠清楚,所以再重新以另外形式證明。

考拉茲函數為  

任意正整數迭代運算後,目前已知結果會出現 fc = 1,今證明之。

證明

因為任一偶數 n 經過除二迭代運算後,最後皆會變成奇數,所以我們專注於奇數的處理。







令 x 為起始奇數,將 n = x 代入


Case 1: 3n+1 ≡ 0 (mod 4)

只要 3n+1 可被 4 整除,可推導出下一個迭代數不會大於起始奇數 x 。

1.a 如果  是奇數,當 

 若  ,那麼下一個迭代數值不會超過起始奇數 x 。

1.b 如果  是偶數,表示可以一直除二,直到成為奇數,



到此已證明,於 3n+1 ≡ 0 (mod 4) 情形下,下一個迭代數不會大於起始奇數 x,另外,








Case 2: 3n+1 ≡ 1 or 3 (mod 4)

如果想獲得餘數為 1 or 3,n 必為偶數,而 n 為偶數,就會被一直除二,直到成為奇數。








Case 3: 3n+1 ≡ 2 (mod 4)

因  為非整數,也表示  是奇數,那麼







將起始奇數 x 迭代入 fc(n) 應可得一漸增數列,












因為 p 是定值,沒有無窮大的 ,所以求解  數列過程中,一定會出現  偶數,
因而進入 Case 1 狀況。


觀察下表,將得出下列結論:

藍字為 Case 3紅字為 Case 1只要兩個 Case 1 之間沒有 Case 3,就會發現最大的 Case 1 奇數,經過 fc(n) 迭代後,奇數 n 就會逐漸收斂到 1。

起始 n
起始奇數 n
(3n+1)/2




1
2
4
8
1
4(1)-3
2
4(1)-2
1
4(1)-3



3
6
12
3
4(1)-1
5
4(2)-3
8
4(2)-0
1
4(1)-3


5
10
5
4(2)-3
8
4(2)-0
1
4(1)-3



7
14
7
4(2)-1
11
4(3)-1
17
4(5)-3
26
4(7)-2
13
4(4)-3

9
9
4(3)-3
14
4(4)-2
7
4(2)-1
11
4(3)-1
17
4(5)-3

11
11
4(3)-1
17
4(5)-3
26
4(7)-2
13
4(4)-3


13
13
4(4)-3
20
4(5)-0
5
4(2)-3
8
4(2)-0
1
4(1)-3

15
15
4(4)-1
23
4(6)-1
35
4(9)-1
53
4(14)-3
80
4(20)-0
5
4(2)-3

接續證明 Case 1 的迭代收斂,若某數符合 4p-3 形式,



將 (4p-3) 和 (3p-2) 兩數相比較,,符合 

因為起始奇數 x 為定值,所以 p 值也為常數,無論經過多少次 Case 3 將  增大,終將產生一個最大的 Case 1 數值 ,然後就會逐漸收斂到 1。









Case 1 迭代並且也無 Case 3 在其中時,p 值是會遞減,最後就歸一了。

故證明所有正整數經過 fc(n) 迭代計算都會歸一。