2014年6月25日 星期三

訓練數學感 23 ─ 可以喝多少瓶汽水?

http://4rdp.blogspot.com/2014/06/23.html


這題是我的同學在 Line 中出題的,改了一下內容,

每瓶汽水兩元,老板為了促銷,蒐集四個瓶蓋可以換一瓶汽水,蒐集兩個瓶身也可以再換一瓶汽水,請問二十元可以喝幾瓶汽水?

難度 ✩✩

不過說真的,如果真有人這樣賣汽水,那會倒店!喝的人會喝到撐X!不然那汽水的成本非常非常的低。

對了,汽水中我最喜歡雪碧,在住家附近的家樂福,常看見一個大型廣告,就是綠茶口味的雪碧,可是都沒賣!?有誰喝過?

另外警告愛玩電動的人,「雪碧」飲料不適合邊玩邊飲用,因為‧‧‧‧‧

2016.2.18 補述,網友行天下私訊,台大張鎮華教授在數學傳播 第39卷第1期 (153), 2015寫文,現在終於明白為什麼這篇網誌超過萬人點閱!

17 則留言:

  1. Linke,

    謝謝你如此豐富內容補充。上週日網友行天下來台北辦事,我和他速食店碰面聊天,我的小朋友在旁作亂,就出這題考他,這題兩個答案,小朋友沒耐心算,並未算出正確答案,而行天下馬上列式算出最佳解 40 瓶,令人佩服,我只會土法煉鋼 35 瓶,能想出以借貸方式獲得最佳解的人,有過人的智慧。

    以下為行天下電郵給我的解答
    =================================================
    瓶蓋瓶身換汽水問題...

    回家 google 了一下:

    https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1401384550.A.E3D.html

    35 瓶與 40 瓶答案都有.

    但是仔細一想,40瓶(就我計算的方法)

    我計算的是一瓶汽水的實際價值。

    忽略掉一件事情, 當收集 4 瓶蓋換一瓶汽水之時,要做的事情是 4 瓶蓋 = 1 瓶汽水 + 1個瓶蓋 + 1 個空瓶
    而非我簡化之後的式子: 4 瓶蓋 = 1 瓶汽水

    這會變成數學上面的差分方程,或稱為遞迴 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%81%9E%E8%BF%B4%E9%97%9C%E4%BF%82%E5%BC%8F

    兩個變數,兩個遞迴式子....
    嘿嘿, 這還真不知道怎麼變成式子解
    ====================================================

    目前我感興趣的是這題的通解,例如 10 元可以喝多少? 30 元可以喝多少?

    回覆刪除
  2. 按我之前設X和Y求出的答案,1瓶蓋 = 1 單位的汽水,1瓶身 = 2 單位汽水。
    2元就能喝到4單位汽水。實際操作時借3瓶蓋和1瓶身再歸還即可。
    推廣下去,10元就能喝到20單位的汽水,30元就能喝到60單位的汽水。
    ----------------------------------------------------------------
    我想提一個新的通解問題,關於最少借貸:
    用20元買回來的汽水,最少需要借2個瓶蓋和1個瓶身
    (價值為4單位汽水),先可達至最優解;
    用2元買回來的汽水,最少需要借1個瓶蓋和2個瓶身
    或3個瓶蓋和1個瓶身(價值為5單位汽水),先可達至最優解。
    那麽10元和30元呢?

    回覆刪除
  3. 目前需要求解的是剩餘瓶子和瓶蓋的數量,以及借貸的方式。想求這個通解,需要傷一下腦筋。

    回覆刪除
  4. 真不好意思。需要訂正一下:
    >>這會變成數學上面的差分方程
    如果瓶蓋、瓶身的價格是個函數的話,才會變成差分方程。
    照這原始題目,瓶蓋、瓶身的價格是固定的,所以原題目依照 Linke 的解法計算就可以了。

    通解的話,這下還真的需要傷下腦筋。

    回覆刪除
  5. 以我的習性,整理一個試算表尋找通解規則。

    回覆刪除
  6. 回覆
    1. 這式子,只適合無借貸,有四元以上的情形。
      請問,你是如何推導通解算式?

      刪除
    2. 用一個函數關係來描述 f(N)為瓶數 N為金額
      f(4)=3,f(6)=7,f(8)=11.........可知為線性關係,則可推得公式為2N-5
      從不同金額的操作可發現,最後都會剩1個瓶蓋和3個瓶身,每增加一瓶(2元),可多得4瓶。
      亦可從等差數列推算公式。

      刪除
    3. 謝謝 math charming 補充。

      刪除
  7. 從條件2瓶蓋=1酒=4空瓶=2元,可得1瓶蓋=1/2酒=1元,1空瓶=1/4酒=0.5元。一瓶蓋成本相當一元,可以想成跟老闆換錢,空瓶相當於0.5元,所以實際買酒只需0.5元。但買酒花0.5元前提是須有足夠條件老闆才肯退錢。所以推導出最後必剩1瓶蓋3空瓶(待會證明)不足條件退錢。所以得扣1(瓶蓋)+1.5(3瓶蓋)元這些錢,最後剩17.5元/0.5元-瓶=35瓶

    回覆刪除
  8. 這其實很有趣,可以先從1瓶推起,剩1蓋1瓶。2瓶酒,得2瓶蓋換1瓶最後會只剩1瓶蓋3空瓶。再加一瓶呢變3瓶,兩瓶結果(1瓶蓋3空瓶)推,變成2瓶蓋4空瓶,又會只剩1瓶蓋3空瓶。4瓶,一樣從3瓶結果推會變成1瓶蓋3空瓶!所以證明無論如何必剩1瓶蓋3空瓶。又每增1瓶可再換三瓶,證明:當老闆會賠死⋯哈哈

    回覆刪除
  9. 又可推出一等差公式:2瓶酒可換3瓶、3瓶酒換7瓶、4瓶換11瓶——》得換酒公式4(x-2)+3,x為買酒瓶數且x大於等於2瓶。最後20元可以買10瓶,x=10代入4(10-2)+3=35,結束。

    回覆刪除
  10. 又可以推y元,可買x瓶,得x=y/2且y定義為2之倍數。得4(y/2-2)+3=2y-5,得公式瓶數=2倍價錢-5所以,2X20-5=35

    回覆刪除
    回覆
    1. Justin 謝謝你的補述。

      近日觀察到這題文章流量大增,請問是從何處得知,吸引您前來?

      刪除
  11. 瓶數 算法:換到的飲料總瓶數(剩下的瓶蓋+剩下的瓶身)
    1瓶 1(1+1)
    2瓶 2(2+2)→3(1+3)
    3瓶 4(2+4)→6(2+2)→7(1+3) ............借用2瓶的結果3(1+3)再多一瓶成為4(2+4)
    3(3+3)→4(2+4)→6(2+2)→7(1+3) ............土法煉鋼,從頭算起
    4瓶 8(2+4)→10(2+2)→11(1+3)
    4(4+4)→7(3+3)→8(2+4)→10(2+2)→11(1+3)
    5瓶 12(2+4)→14(2+2)→15(1+3)
    5(5+5)→8(4+4)→11(3+3)→12(2+4)→14(2+2)→15(1+3)
    6瓶 16(2+4)→18(2+2)→19(1+3)
    6(6+6)→10(4+6)→13(3+5)→15(3+3)→16(2+4)→18(2+2)→19(1+3)
    7瓶 20(2+4)→22(2+2)→23(1+3)
    7(7+7)→11(5+7)→14(4+6)→17(3+5)→19(3+3)→20(2+4)→22(2+2)→23(1+3)
    8瓶 24(2+4)→26(2+2)→27(1+3)
    8(8+8)→14(6+6)→18(4+6)→21(3+5)→23(3+3)→24(2+4)→26(2+2)→27(1+3)
    …………
    從上面的算式可以發現一個規則,即不管買幾瓶,最後都會剩一個瓶蓋和三個空瓶
    若依據題目的條件,我們把一瓶2元的飲料視為個部分都代表特定的價值,則一個瓶蓋的價值是1元(因為兩個瓶蓋可以換一瓶2元的飲料)及一個空瓶的價值是0.5元(因為四個空瓶可以換一瓶2元的飲料)及瓶中飲料的價值為0.5元(2-1-0.5=0.5)
    所以手上最後會剩下總價值2.5元(1*1+0.5*3=2.5)的東西,而這2.5元是無法被利用的物品(非2.5元現金)
    因此表示一開始身上的20元,共有17.5元(20-2.5=17.5)拿去換飲料啦
    因為瓶中飲料的價值為0.5元
    所以17.5(元)÷0.5(元/瓶)=35(瓶)

    回覆刪除
    回覆
    1. 正曄,謝謝你補充資料。能請問你從何得知這個部落格?

      刪除
  12. 補充汽水問題的通解,
    https://docs.google.com/forms/d/1kKc617kTQVcyzlmqZpjnBAiVcbYUIOz6wUNMEdj6uIY/viewform
    由試算表可知,剩餘瓶蓋與瓶身只有兩種狀況,如何喝到最多汽水,解答就在上面的討論。

    回覆刪除