2016年4月16日 星期六

訓練數學感 95 ─ 多少個正方形?

http://4rdp.blogspot.com/2016/04/95.html


左圖中,總共有幾個正方形?

這題不難,但還是有值得討論的內容。

25 則留言:

  1. 設最大的正方形邊長4單位
    邊長0.5單位正方形 8個
    邊長1單位正方形 18個
    邊長2單位正方形 9個
    邊長3單位正方形 4個
    邊長4單位正方形 1個
    總共 40個

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    1. 正解
      加分題,如果拿掉中間兩個紅色方形,最大正方形為 N x N 時,總共會有幾個正方形?

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    2. 邊長1單位正方形 n^2個
      邊長2單位正方形 (n-1)^2個
      邊長3單位正方形 (n-2)^2個
      ..........
      邊長(n-1)單位正方形 2^2個
      邊長n單位正方形 1^2個
      總和1^2+2^2+3^2+......+(n-1)^2+n^2 =n(n+1)(2n+1)/6 (自然數平方級數)

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    3. 正解,補充平方數和推導 http://4rdp.blogspot.tw/2015/10/77.html
      會出這題目是因為小朋友說他觀察到這題目解答有平方數和的關係。

      進階題,如果可以將相鄰的正方形組合在一起成為長方形,請問 N x N 連同正方形一起計數,總共有多少個矩形?

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    4. 第一問,先抛開紅色觀察,一個大正方形每邊被等分成四段,
      即共有4^2 = 16個1*1的正方形。
      以此類推,2*2正方形的數量為,3^2 = 9個。
      3*3正方形的數量為,2^2 = 4個。
      4*4正方形的數量為,1^2 = 1個。
      共有30個。
      觀察到這一規律之後,把紅色加入計算:
      2*(2^2 + 1^2) = 10個。
      故合共有40個。

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    5. 觀察到這一規律之後,再加多少正方形也能輕易計算出結果。

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    6. 是啊,有規律就容易求解答案,平方數和的數列為
      https://oeis.org/A000330

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  2. 因為此正方形中縱的有5條,橫的有5條,任兩條縱線和和任兩條橫線可構成1個矩形
    (C 5取2)^2=100
    100個矩形

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    1. 修正錯誤:第一行多打1個「和」

      (C5取2)^2正確打法為 (C_2^5)^2

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    2. 這樣的解法簡單漂亮,組合數學的 n 個取 r 個,一般以 C(n,r) 表示

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    3. 原來是這樣打啊。

      有些數學表示法很難用純文字表達出來。

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    4. 是啊,透過網路互動,我也從各位身上學到很多有趣的東西。
      打數學式參考 http://4rdp.blogspot.tw/2014/08/latex.html

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  3. 這種問題應該可以向三維發展。

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    1. 沒錯,進階題二,NxNxN的立方體,可以有幾個正立方體?

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  4. 邊長1的正方體 n^3個
    邊長2的正方體 (n-1)^3個
    ......
    邊長(n-2)的正方形 3^3個
    邊長(n-1)的正方形 2^3個
    邊長n的正方形 1^3個
    1^3+2^3+3^3+....+(n-1)^3+n^3=\sum_{n=1}^n n^3=[(n+1)n/2]^2

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    1. 漂亮馬上解出答案,並且用 LaTex 寫數式

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    2. Sum of rth power of natural numbers
      http://neetrebirth.blogspot.tw/2015/08/blog-post_30.html

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    3. 以前對二項式定理僅略知皮毛,看來要看懂它可能要用功一下了。

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    4. 不簡單國一就知道二項式定理,這是從那裡學來的?https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E5%AE%9A%E7%90%86

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    5. 之前在自學組合數學中偶然看到的,當時僅僅是快速瀏覽一遍,沒有深入研讀內容。
      這好像在高一教材有?

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    6. 組合數學一般搭配機率課程教學,以前我是在專科(高中)階段才學到的。

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  5. 以下是我想到的延伸:
    圖形換成正三角形、形體換成正四面體,應該會有不同的解。

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  6. 嗯,這是不錯的拓展題目,甚至六邊形也可試看看

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  7. 不過正六邊形鑲嵌應該不會形成一個更大的正六邊形。

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    1. 精確地說,以半六角形(梯形)拼接
      https://docs.google.com/drawings/d/1hKAF0Tsxi0x9nZwpKD9xqy4Y_Q_X4qzh1S14Ujz4_OQ

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