2019年9月27日 星期五

完整非電腦證明考拉茲猜想 (四) (Collatz conjecture 4)

http://4rdp.blogspot.com/2019/09/collatz-conjecture-4_27.html

前文(三),雖然第三篇證明比前兩篇好,但總覺得說明還不夠好,所以希望以較簡潔明瞭的方式證明。

考拉茲函數為  

任意正整數迭代運算後,目前已知結果會出現 fc = 1,今證明之。

證明

因為任一偶數 n 經過除二迭代運算後,最後皆會變成奇數,所以我們專注於奇數的處理。







令 x 為起始奇數,將 n = x 代入


Case 1: 3n+1 ≡ 0 (mod 4)

只要 3n+1 可被 4 整除,可推導出下一個迭代數不會大於起始奇數 x 。

1.a 如果  是奇數,當 

 若  ,那麼下一個迭代數值不會超過起始奇數 x 。

1.b 如果  是偶數,表示可以一直除二,直到成為奇數,



到此已證明,於 3n+1 ≡ 0 (mod 4) 情形下,下一個迭代數不會大於起始奇數 x,另外,








Case 2: 3n+1 ≡ 1 or 3 (mod 4)

如果想獲得餘數為 1 or 3,n 必為偶數,而 n 為偶數,就會被一直除二,直到成為奇數。








Case 3: 3n+1 ≡ 2 (mod 4)

因  為非整數,也表示  是奇數,那麼







將起始奇數 x 迭代入 fc(n) 應可得一漸增數列,












因為 p 是定值,沒有無窮大的 ,所以求解  數列過程中,一定會出現  偶數,
因而進入 Case 1 狀況。


以上分析完  所有狀況,欲證明重複迭代 fc(n) 會產生歸一的結果,如果直接證明 fc(n) 迭代歸一是困難的,那可以考慮兩種情形,一種是 fc(n) 迭代有漸增趨勢,另一種是 fc(n) 迭代有循環情形,只要證明這兩種狀況不存在,就可以說 fc(n) 迭代將會產生歸一狀況。



一、迭代循環

倘若有迭代循環,則必有某最小循環奇數 y,它必是 Case 3 型式,因為 Case 1 奇數的下一個迭代數不會比 y 大,除了 1 無法達成 y 是最小循環奇數條件。

而 Case 3 會產生漸增數值,經過迭代數次之後再除二回到原值 y。

      奇數 n 經過 (3n+1)/2 計算

                遇到偶數 /2 計算

從上面兩式計算過程可知,遇到奇數會一直累積 3 的倍數,這與回歸 y 循環 4, 8, 16, ... 除數完全沒有交集,因此 y 不會出現迭代循環情形。



二、迭代漸減





x 分別代入 1, 2, 3, ...,  皆為 3 的倍數

所以歸納出  為 3 的倍數

無論 Case 1 或 Case 3,當  出現 4 的倍數時

n 可以化約為 ,這將使 n 大幅變小,

又 Case 3 的 n 增幅有限,而它的 4p - 1 型式同 g(x),這將使 Case 3 多次迭代有機會變小。


2019年9月23日 星期一

訓練數學感 227 ─ 無限根號

http://4rdp.blogspot.com/2019/09/227.html



2019年9月19日 星期四

完整非電腦證明考拉茲猜想 (三) (Collatz conjecture 3)

http://4rdp.blogspot.com/2019/09/collatz-conjecture-3.html

前文(二),由於 Case 1 證明還不夠嚴謹,並且 Case 3 證明也不夠清楚,所以再重新以另外形式證明。

考拉茲函數為  

任意正整數迭代運算後,目前已知結果會出現 fc = 1,今證明之。

證明

因為任一偶數 n 經過除二迭代運算後,最後皆會變成奇數,所以我們專注於奇數的處理。







令 x 為起始奇數,將 n = x 代入


Case 1: 3n+1 ≡ 0 (mod 4)

只要 3n+1 可被 4 整除,可推導出下一個迭代數不會大於起始奇數 x 。

1.a 如果  是奇數,當 

 若  ,那麼下一個迭代數值不會超過起始奇數 x 。

1.b 如果  是偶數,表示可以一直除二,直到成為奇數,



到此已證明,於 3n+1 ≡ 0 (mod 4) 情形下,下一個迭代數不會大於起始奇數 x,另外,








Case 2: 3n+1 ≡ 1 or 3 (mod 4)

如果想獲得餘數為 1 or 3,n 必為偶數,而 n 為偶數,就會被一直除二,直到成為奇數。








Case 3: 3n+1 ≡ 2 (mod 4)

因  為非整數,也表示  是奇數,那麼







將起始奇數 x 迭代入 fc(n) 應可得一漸增數列,












因為 p 是定值,沒有無窮大的 ,所以求解  數列過程中,一定會出現  偶數,
因而進入 Case 1 狀況。


觀察下表,將得出下列結論:

藍字為 Case 3紅字為 Case 1只要兩個 Case 1 之間沒有 Case 3,就會發現最大的 Case 1 奇數,經過 fc(n) 迭代後,奇數 n 就會逐漸收斂到 1。

起始 n
起始奇數 n
(3n+1)/2




1
2
4
8
1
4(1)-3
2
4(1)-2
1
4(1)-3



3
6
12
3
4(1)-1
5
4(2)-3
8
4(2)-0
1
4(1)-3


5
10
5
4(2)-3
8
4(2)-0
1
4(1)-3



7
14
7
4(2)-1
11
4(3)-1
17
4(5)-3
26
4(7)-2
13
4(4)-3

9
9
4(3)-3
14
4(4)-2
7
4(2)-1
11
4(3)-1
17
4(5)-3

11
11
4(3)-1
17
4(5)-3
26
4(7)-2
13
4(4)-3


13
13
4(4)-3
20
4(5)-0
5
4(2)-3
8
4(2)-0
1
4(1)-3

15
15
4(4)-1
23
4(6)-1
35
4(9)-1
53
4(14)-3
80
4(20)-0
5
4(2)-3

接續證明 Case 1 的迭代收斂,若某數符合 4p-3 形式,



將 (4p-3) 和 (3p-2) 兩數相比較,,符合 

因為起始奇數 x 為定值,所以 p 值也為常數,無論經過多少次 Case 3 將  增大,終將產生一個最大的 Case 1 數值 ,然後就會逐漸收斂到 1。









Case 1 迭代並且也無 Case 3 在其中時,p 值是會遞減,最後就歸一了。

故證明所有正整數經過 fc(n) 迭代計算都會歸一。