2019年10月17日 星期四

訓練數學感 228 ─ 橋牌的牌型分佈

http://4rdp.blogspot.com/2019/10/228_17.html

玩橋牌需要四位玩家,會把 52 張牌充分洗牌後,每個玩家分得 13 張牌,我們會把手牌依花色整理並計數張數,請計算拿到下列牌型的機率:
4333
4432
4441
5332
5422
5431
5440
5521
5530
6511
6421
6430

2019年10月13日 星期日

曾慶耀教授的自動控制原理概述

http://4rdp.blogspot.com/2019/10/blog-post_13.html

研發養成所的專業文章中,最熱門的應屬自動控制類文章,那曾教授的文章更是經典中的經典,請大家細細品味:






2019年10月9日 星期三

曾慶耀教授在FB上的雜談

http://4rdp.blogspot.com/2019/10/fb.html

2019.10.4 與曾慶耀教授 (左) 合影

曾教授是我就讀海洋大學時航運技術研究所時的指導教授,多年前已從學校榮退,旅居澳洲,直到近日因為 FB 相遇而聯繫上。

老師留學美國休士頓 Rice University 機械工程,1991年回台教學,很榮幸能成為他的第一位碩士班學生,記得當時研修系統鑑定 (System Identification) 只有兩三個研究生,在海洋大學的操船模擬室內上課,還好有點數學底子,不然這門課程很難熬過。另外印象特別深刻,在那還沒有網際網路的時代,只有一個學生上課也照開,期末考老師給了一張考卷,讓我帶回去寫一天一夜,真的是一天寫一整頁,沒有人可以問。平日每天下午都會到教授研究室報到,除了討論論文外,我還記得曾在這裡安裝電腦網路、架設工作站、雷射列表機等。而老師熱愛球類運動,晴天就網球,雨天就籃球。可惜這個研究室在我畢業後被颱風淹水過,老師損失許多專業書籍,就遷移到延平技術大樓。

瀏覽一下老師 FB,有幾篇雜談蠻有趣的,先記下聯結,關於微積分、自動控制、教學的想法,有空可以品味:
https://www.facebook.com/chingyaw.tzeng/posts/636283219832266  微積分一
https://www.facebook.com/chingyaw.tzeng/posts/657447727715815  微積分二
https://www.facebook.com/chingyaw.tzeng/posts/663155933811661  自動控制一
https://www.facebook.com/chingyaw.tzeng/posts/759855520808368  數學聯想
https://www.facebook.com/chingyaw.tzeng/posts/958691640924754  自動控制二
https://www.facebook.com/chingyaw.tzeng/posts/1053876028072981  學習
https://www.facebook.com/chingyaw.tzeng/posts/1056647924462458  教學
https://www.facebook.com/photo.php?fbid=1354734144653833&set=a.696817317112189&type=3&theater  聯想

2019年10月5日 星期六

訓練數學感 228 ─ 四面體最大體積

http://4rdp.blogspot.com/2019/10/228.html

已知四面體的六個邉長為 2, 3, 3, 4, 5, 5,請問這四面體最大體積多少?

2019年10月1日 星期二

觸觸危機桌遊玩法解說影片 (Crisis on Touching)

http://4rdp.blogspot.com/2019/10/crisis-on-touching.html


這個影片拖了很久,現在終於上傳,希望之前 150 桌遊網購的朋友們,可以透過影片解說了解觸觸危機的遊戲流程。

影片使用 v1.3 的遊戲規則,這差不多定型了,剩下是遊戲版圖調整的問題。

2019年9月27日 星期五

完整非電腦證明考拉茲猜想 (四) (Collatz conjecture 4)

http://4rdp.blogspot.com/2019/09/collatz-conjecture-4_27.html

前文(三),雖然第三篇證明比前兩篇好,但總覺得說明還不夠好,所以希望以較簡潔明瞭的方式證明。

考拉茲函數為  

任意正整數迭代運算後,目前已知結果會出現 fc = 1,今證明之。

證明

因為任一偶數 n 經過除二迭代運算後,最後皆會變成奇數,所以我們專注於奇數的處理。







令 x 為起始奇數,將 n = x 代入


Case 1: 3n+1 ≡ 0 (mod 4)

只要 3n+1 可被 4 整除,可推導出下一個迭代數不會大於起始奇數 x 。

1.a 如果  是奇數,當 

 若  ,那麼下一個迭代數值不會超過起始奇數 x 。

1.b 如果  是偶數,表示可以一直除二,直到成為奇數,



到此已證明,於 3n+1 ≡ 0 (mod 4) 情形下,下一個迭代數不會大於起始奇數 x,另外,








Case 2: 3n+1 ≡ 1 or 3 (mod 4)

如果想獲得餘數為 1 or 3,n 必為偶數,而 n 為偶數,就會被一直除二,直到成為奇數。








Case 3: 3n+1 ≡ 2 (mod 4)

因  為非整數,也表示  是奇數,那麼







將起始奇數 x 迭代入 fc(n) 應可得一漸增數列,












因為 p 是定值,沒有無窮大的 ,所以求解  數列過程中,一定會出現  偶數,
因而進入 Case 1 狀況。


以上分析完  所有狀況,欲證明重複迭代 fc(n) 會產生歸一的結果,如果直接證明 fc(n) 迭代歸一是困難的,那可以考慮兩種情形,一種是 fc(n) 迭代有漸增趨勢,另一種是 fc(n) 迭代有循環情形,只要證明這兩種狀況不存在,就可以說 fc(n) 迭代將會產生歸一狀況。



一、迭代循環

倘若有迭代循環,則必有某最小循環奇數 y,它必是 Case 3 型式,因為 Case 1 奇數的下一個迭代數不會比 y 大,除了 1 無法達成 y 是最小循環奇數條件。

而 Case 3 會產生漸增數值,經過迭代數次之後再除二回到原值 y。

      奇數 n 經過 (3n+1)/2 計算

                遇到偶數 /2 計算

從上面兩式計算過程可知,遇到奇數會一直累積 3 的倍數,這與回歸 y 循環 4, 8, 16, ... 除數完全沒有交集,因此 y 不會出現迭代循環情形。



二、迭代漸減





x 分別代入 1, 2, 3, ...,  皆為 3 的倍數

所以歸納出  為 3 的倍數

無論 Case 1 或 Case 3,當  出現 4 的倍數時

n 可以化約為 ,這將使 n 大幅變小,

又 Case 3 的 n 增幅有限,而它的 4p - 1 型式同 g(x),這將使 Case 3 多次迭代有機會變小。


2019年9月23日 星期一

訓練數學感 227 ─ 無限根號

http://4rdp.blogspot.com/2019/09/227.html