2016年5月25日 星期三

訓練數學感 99 ─ 2003 倍數

http://4rdp.blogspot.com/2016/05/99-2003.html

請問 1 x 3 x 5 x ..... x 2001 + 2 x 4 x 6 x ..... x 2002 是否為 2003 的倍數？


難度 ✩✩✩
這是小朋友學校的數學考題，有深度因而收錄。

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38 則留言:

  1. flyingdusts2016年5月25日 下午3:17

    題目有些意思。
    如果中間是乘號的話只需要證明2003是否質數即可。
    但是是加號……初步思路是假設左邊是2003的倍數，那麽給左邊乘一個比2003小的數，也會是2003的倍數。
    如果得到正確結論，那麽證明是倍數，如果得到錯誤結論，那麽就不是。

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    1. .2016年5月25日 晚上10:25

      這題好難。恕我暫時無法用任何國一的思維去證明這題（笑）。
      但是，以下是我想到的觀察法：
      3│1+2
      7│1*3*5+2*4*6
      11│1*3*5*7*9+2*4*6*8*10
      .....
      2003│1*3*5*.....*2001 + 2*4*6*.....*2002
      這題應該要證明出：
      2(2k-1)+1│1*3*5*...*[2(2k-1)-1]+2*4*6*...*[2(2k-1)]
      　
      k\in \mathbb{N}

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    2. .2016年5月25日 晚上10:35

      請問這題是是非題、選擇題還是非選題?
      如果是非選題，我可能會錯在這裡。

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    3. Bridan2016年5月25日 晚上10:48

      雙階乘
      (2n-1)!! = 1 x 3 x 5 x ... x (2n-1) , n >= 1
      (2n)!! = 2 x 4 x 6 x ... x (2n)

      這題，意外發現一個有趣的規則，
      (2n-1)!! + (2n)!! = K(2n+1) ， n 為奇數，K 為正整數

      n = 1, 1 + 2 = 3, 可被 3 整除
      n = 3, 1x3x5 + 2x4x6 = 63, 可被 7 整除
      n = 5, 1x3x5x7x9 + 2x4x6x8x10 = 4785, 可被 11 整除

      不曉得這數學特性已經被發現？如果還沒並且也未被證明的話，就稱它為 Bridan 猜想， ^_^

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    4. .2016年5月25日 晚上11:00

      可能出題老師已經發現了喔.....

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    5. Bridan2016年5月25日 晚上11:03

      哈，在打字的時候，西瓜已經搶先貼文，你我的想法相同，就是從規則中尋找線索，這題證明題確實很難，證明方法思考中，孫老師所提的方法可以想想。

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    6. .2016年5月25日 晚上11:26

      也就是說反證法?

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    7. Bridan2016年5月25日 晚上11:41

      反證法，也是一種證明的方法，不確定這方法可行。

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    8. flyingdusts2016年5月30日 上午8:07

      K可以構成一個新的數列吧

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    9. Bridan2016年5月30日 晚上8:55

      這是一個 k = 4n+3 的數列，OEIS 已經收錄它了，請見 https://oeis.org/A004767

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    10. flyingdusts2016年5月31日 上午8:53

      我的意思是 K = [(2n-1)!! + (2n)!!] / (2n+1)
      這個K我搜了一下， 1, 9, 435……，確實沒有。

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    11. Bridan2016年5月31日 晚上9:33

      恭喜老師找到新數列，您可登記它，最近工作忙碌，沒花太多心思在進階題上，另外數式需要修正，
      K = [(4n+1)!! + (4n+2)!!] / (4n+3) , n = 0,1,2,3,...
      需要幫你寫程式嗎？這個很明確，現在就可以登記。

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    12. flyingdusts2016年6月1日 清晨7:56

      好啊好啊，把參與的人都登記上吧。畢竟是解出題目後就呼之欲出的數列呢。

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    13. Bridan2016年6月2日 凌晨12:16

      謝謝老師，您就名列第一，z423x5c6第二，西瓜第三，我會上傳程式列最後

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  2. z423x5c62016年5月26日 凌晨12:06

    只要用modulo arithmetic就能證明了
    2x4x...x2002 有1001個項
    所以under mod 2003
    1x3x...x2001+2x4x...x2002
    =1x3x...x2001+(-2001)x(-1999)x...x(-1)
    =1x3x...x2001+1x3x...x2001x(-1)^1001
    =1x3x...x2001-1x3x...x2001
    =0
    故整除
    你們發現的規律是正確的

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  3. Unknown2016年5月26日 凌晨12:08

    作者已經移除這則留言。

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  4. Bridan2016年5月26日 清晨7:57

    謝謝網友 z423x5c6 提供解答，https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic，確實載明特性，我想這應是大學數學系才會教的東西。

    另外從 -1 看到，只有奇數才能使模數對銷為零。

    袁佑緣也同時以貼文，方法相近，謝謝你們。

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    1. z423x5c62016年5月26日 下午2:00

      不謝啦～

      我在想有沒有國一的方法能解決這題……

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    2. .2016年5月26日 下午3:02

      真是高明的方法。我還真的沒想到。原來可以用餘數來解決問題......

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    3. Bridan2016年5月26日 晚上9:21

      是啊，今早起床後看到解法心情大好，下班回家想起以前一篇舊文 http://4rdp.blogspot.tw/2014/07/chinese-remainder-theorem.html，這部分特性還得好好複習再融會貫通。

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    4. Bridan2016年5月26日 晚上10:12

      補充，小朋友說這題是學校的高一資優考題。

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  5. .2016年5月26日 晚上10:25

    國中出現高一資優考題?

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    1. Bridan2016年5月26日 晚上10:45

      不是，他的學校是完全中學，有時他喜歡看高中生的考題，蠻奇怪的小朋友，不愛看故事書但對難題喜歡研究。

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  6. .2016年5月31日 晚上10:06

    高一有方法證明此題嗎?

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    1. Bridan2016年5月31日 晚上10:24

      這屬於數論領域，我聽海山高中的老師說，目前高中並沒有教授，因此高一應該解不出這題。

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    2. 匿名2016年6月2日 凌晨12:25

      其實同餘(mod)在高中的數學競賽屬於高一範圍(數論)。雖課內不教，但以前舊課綱有，國內各數學比賽還是會考，國外則是都有教所以一定會考。

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    3. Bridan2016年6月2日 上午8:38

      謝謝說明，原來現在已經不教 mod，留給有興趣的人自己去學。

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    4. 洪偉2016年6月9日 下午4:04

      想到一個高一可能的證明方式，就是將原題改寫成：

      (2003 - 2002) * (2003 - 2000) * ... * (2003 - 4) * (2003 - 2)

      + 2002 * 2000 * ... * 2

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  7. .2016年6月2日 下午6:08

    K=[(4n+1)!!+(4n+2)!!]/(4n+3) K與n為正整數
    其實如果可以用模算術證明所有自然數n都可以成立後，這就可以成為一個定理了(如果還沒有人發現和證明的話)。

    還有，奇數可以用2n+1和2n-1表示(n為正整數)，那什麼時候要挑哪一種表示方法比較適當?

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  8. Bridan2016年6月2日 晚上10:09

    是啊，能夠證明 K=[(4n+1)!!+(4n+2)!!]/(4n+3) n=0,1,2,3,... 可成一定理
    對了，正整數是不含 0，數論的自然數也不包含 0，詳見 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
    關於奇數用 2n+1 還是 2n-1，個人看法為端看 n 從 0 或是 1 開始，0 開始就用 2n+1

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  9. .2016年6月2日 晚上10:16

    啊，的確出了點小差錯，n應該是非負整數

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  10. .2016年6月2日 晚上10:18

    還有，可以幫這個定理命名，比如Bridan定理之類的(笑)

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    1. Bridan2016年6月3日 凌晨12:08

      已經上線登記，https://oeis.org/draft/A273889，大家看過後沒問題再正式提出申請
      還有公式修正為 K=[(4n-3)!!+(4n-2)!!]/(4n-1) n=1,2,3,...

      它也可以稱為西瓜定理(哈)

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    2. Bridan2016年6月3日 晚上10:26

      尋找網友 z423x5c6，因為你的幫忙證明 2003 倍數，而發現一個新的數列，近日將於 OEIS 登記，如果你有意留名，請先 OEIS 登記註冊，謝謝。

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  11. .2016年6月3日 晚上10:46

    請問crossrefs出現A103639的用意為何?

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  12. 洪偉2016年6月9日 下午3:55

    似乎將原題改寫成

    (2003 - 2002) * (2003 - 2000) * ... * (2003 - 4) * (2003 - 2)

    + 2002 * 2000 * ... * 2

    就一目了然了。

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    1. Bridan2016年6月9日 下午5:05

      嗯，上下互補，不過還得懂 modulo arithmetic，才有辦法將這題完整證明。

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