2016年5月25日 星期三

訓練數學感 99 ─ 2003 倍數

http://4rdp.blogspot.com/2016/05/99-2003.html

請問 1 x 3 x 5 x ..... x 2001 + 2 x 4 x 6 x ..... x 2002 是否為 2003 的倍數?

這是小朋友學校的數學考題,有深度因而收錄。

38 則留言:

  1. 題目有些意思。
    如果中間是乘號的話只需要證明2003是否質數即可。
    但是是加號……初步思路是假設左邊是2003的倍數,那麽給左邊乘一個比2003小的數,也會是2003的倍數。
    如果得到正確結論,那麽證明是倍數,如果得到錯誤結論,那麽就不是。

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    1. 這題好難。恕我暫時無法用任何國一的思維去證明這題(笑)。
      但是,以下是我想到的觀察法:
      3│1+2
      7│1*3*5+2*4*6
      11│1*3*5*7*9+2*4*6*8*10
      .....
      2003│1*3*5*.....*2001 + 2*4*6*.....*2002
      這題應該要證明出:
      2(2k-1)+1│1*3*5*...*[2(2k-1)-1]+2*4*6*...*[2(2k-1)]
       
      k\in \mathbb{N}

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    2. 請問這題是是非題、選擇題還是非選題?
      如果是非選題,我可能會錯在這裡。

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    3. 雙階乘
      (2n-1)!! = 1 x 3 x 5 x ... x (2n-1) , n >= 1
      (2n)!! = 2 x 4 x 6 x ... x (2n)

      這題,意外發現一個有趣的規則,
      (2n-1)!! + (2n)!! = K(2n+1) , n 為奇數,K 為正整數

      n = 1, 1 + 2 = 3, 可被 3 整除
      n = 3, 1x3x5 + 2x4x6 = 63, 可被 7 整除
      n = 5, 1x3x5x7x9 + 2x4x6x8x10 = 4785, 可被 11 整除

      不曉得這數學特性已經被發現?如果還沒並且也未被證明的話,就稱它為 Bridan 猜想, ^_^

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    4. 可能出題老師已經發現了喔.....

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    5. 哈,在打字的時候,西瓜已經搶先貼文,你我的想法相同,就是從規則中尋找線索,這題證明題確實很難,證明方法思考中,孫老師所提的方法可以想想。

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    6. 反證法,也是一種證明的方法,不確定這方法可行。

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    7. K可以構成一個新的數列吧

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    8. 這是一個 k = 4n+3 的數列,OEIS 已經收錄它了,請見 https://oeis.org/A004767

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    9. 我的意思是 K = [(2n-1)!! + (2n)!!] / (2n+1)
      這個K我搜了一下, 1, 9, 435……,確實沒有。

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    10. 恭喜老師找到新數列,您可登記它,最近工作忙碌,沒花太多心思在進階題上,另外數式需要修正,
      K = [(4n+1)!! + (4n+2)!!] / (4n+3) , n = 0,1,2,3,...
      需要幫你寫程式嗎?這個很明確,現在就可以登記。

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    11. 好啊好啊,把參與的人都登記上吧。畢竟是解出題目後就呼之欲出的數列呢。

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    12. 謝謝老師,您就名列第一,z423x5c6第二,西瓜第三,我會上傳程式列最後

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  2. 只要用modulo arithmetic就能證明了
    2x4x...x2002 有1001個項
    所以under mod 2003
    1x3x...x2001+2x4x...x2002
    =1x3x...x2001+(-2001)x(-1999)x...x(-1)
    =1x3x...x2001+1x3x...x2001x(-1)^1001
    =1x3x...x2001-1x3x...x2001
    =0
    故整除
    你們發現的規律是正確的

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  3. 作者已經移除這則留言。

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  4. 謝謝網友 z423x5c6 提供解答,https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic,確實載明特性,我想這應是大學數學系才會教的東西。

    另外從 -1 看到,只有奇數才能使模數對銷為零。

    袁佑緣也同時以貼文,方法相近,謝謝你們。

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    1. 不謝啦~

      我在想有沒有國一的方法能解決這題……

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    2. 真是高明的方法。我還真的沒想到。原來可以用餘數來解決問題......

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    3. 是啊,今早起床後看到解法心情大好,下班回家想起以前一篇舊文 http://4rdp.blogspot.tw/2014/07/chinese-remainder-theorem.html,這部分特性還得好好複習再融會貫通。

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    4. 補充,小朋友說這題是學校的高一資優考題。

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    1. 不是,他的學校是完全中學,有時他喜歡看高中生的考題,蠻奇怪的小朋友,不愛看故事書但對難題喜歡研究。

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    1. 這屬於數論領域,我聽海山高中的老師說,目前高中並沒有教授,因此高一應該解不出這題。

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    2. 其實同餘(mod)在高中的數學競賽屬於高一範圍(數論)。雖課內不教,但以前舊課綱有,國內各數學比賽還是會考,國外則是都有教所以一定會考。

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    3. 謝謝說明,原來現在已經不教 mod,留給有興趣的人自己去學。

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    4. 想到一個高一可能的證明方式,就是將原題改寫成:

      (2003 - 2002) * (2003 - 2000) * ... * (2003 - 4) * (2003 - 2)

      + 2002 * 2000 * ... * 2

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  7. K=[(4n+1)!!+(4n+2)!!]/(4n+3) K與n為正整數
    其實如果可以用模算術證明所有自然數n都可以成立後,這就可以成為一個定理了(如果還沒有人發現和證明的話)。

    還有,奇數可以用2n+1和2n-1表示(n為正整數),那什麼時候要挑哪一種表示方法比較適當?

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  8. 是啊,能夠證明 K=[(4n+1)!!+(4n+2)!!]/(4n+3) n=0,1,2,3,... 可成一定理
    對了,正整數是不含 0,數論的自然數也不包含 0,詳見 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
    關於奇數用 2n+1 還是 2n-1,個人看法為端看 n 從 0 或是 1 開始,0 開始就用 2n+1

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  9. 啊,的確出了點小差錯,n應該是非負整數

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  10. 還有,可以幫這個定理命名,比如Bridan定理之類的(笑)

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    1. 已經上線登記,https://oeis.org/draft/A273889,大家看過後沒問題再正式提出申請
      還有公式修正為 K=[(4n-3)!!+(4n-2)!!]/(4n-1) n=1,2,3,...

      它也可以稱為西瓜定理(哈)

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    2. 尋找網友 z423x5c6,因為你的幫忙證明 2003 倍數,而發現一個新的數列,近日將於 OEIS 登記,如果你有意留名,請先 OEIS 登記註冊,謝謝。

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  11. 請問crossrefs出現A103639的用意為何?

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  12. 似乎將原題改寫成

    (2003 - 2002) * (2003 - 2000) * ... * (2003 - 4) * (2003 - 2)

    + 2002 * 2000 * ... * 2

    就一目了然了。

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    1. 嗯,上下互補,不過還得懂 modulo arithmetic,才有辦法將這題完整證明。

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