2019年9月27日 星期五

完整非電腦證明考拉茲猜想 (四) (Collatz conjecture 4)

http://4rdp.blogspot.com/2019/09/collatz-conjecture-4_27.html

前文(三),雖然第三篇證明比前兩篇好,但總覺得說明還不夠好,所以希望以較簡潔明瞭的方式證明。

考拉茲函數為  

任意正整數迭代運算後,目前已知結果會出現 fc = 1,今證明之。

證明

因為任一偶數 n 經過除二迭代運算後,最後皆會變成奇數,所以我們專注於奇數的處理。







令 x 為起始奇數,將 n = x 代入


Case 1: 3n+1 ≡ 0 (mod 4)

只要 3n+1 可被 4 整除,可推導出下一個迭代數不會大於起始奇數 x 。

1.a 如果  是奇數,當 

 若  ,那麼下一個迭代數值不會超過起始奇數 x 。

1.b 如果  是偶數,表示可以一直除二,直到成為奇數,



到此已證明,於 3n+1 ≡ 0 (mod 4) 情形下,下一個迭代數不會大於起始奇數 x,另外,








Case 2: 3n+1 ≡ 1 or 3 (mod 4)

如果想獲得餘數為 1 or 3,n 必為偶數,而 n 為偶數,就會被一直除二,直到成為奇數。








Case 3: 3n+1 ≡ 2 (mod 4)

因  為非整數,也表示  是奇數,那麼







將起始奇數 x 迭代入 fc(n) 應可得一漸增數列,












因為 p 是定值,沒有無窮大的 ,所以求解  數列過程中,一定會出現  偶數,
因而進入 Case 1 狀況。


以上分析完  所有狀況,欲證明重複迭代 fc(n) 會產生歸一的結果,如果直接證明 fc(n) 迭代歸一是困難的,那可以考慮兩種情形,一種是 fc(n) 迭代有漸增趨勢,另一種是 fc(n) 迭代有循環情形,只要證明這兩種狀況不存在,就可以說 fc(n) 迭代將會產生歸一狀況。



一、迭代循環

倘若有迭代循環,則必有某最小循環奇數 y,它必是 Case 3 型式,因為 Case 1 奇數的下一個迭代數不會比 y 大,除了 1 無法達成 y 是最小循環奇數條件。

而 Case 3 會產生漸增數值,經過迭代數次之後再除二回到原值 y。

      奇數 n 經過 (3n+1)/2 計算

                遇到偶數 /2 計算

從上面兩式計算過程可知,遇到奇數會一直累積 3 的倍數,這與回歸 y 循環 4, 8, 16, ... 除數完全沒有交集,因此 y 不會出現迭代循環情形。



二、迭代漸減





x 分別代入 1, 2, 3, ...,  皆為 3 的倍數

所以歸納出  為 3 的倍數

無論 Case 1 或 Case 3,當  出現 4 的倍數時

n 可以化約為 ,這將使 n 大幅變小,

又 Case 3 的 n 增幅有限,而它的 4p - 1 型式同 g(x),這將使 Case 3 多次迭代有機會變小。


觀察補充

所有偶數除二計算皆可得到一個奇數對應,而奇數 n 經過 3n+1 計算是產不出所有偶數。

n
3n+1

1
4
(3n+1)/4 = 1
3
10
(3n+1)/2 = 5
5
16
(3n+1)16 = 1
7
22
(3n+1)/2 = 11
9
28
(3n+1)/4 = 7
11
34
(3n+1)/2 = 17
13
40
(3n+1)/8 = 5
15
46
(3n+1)/2 = 23


本次證明,個人觀察到  有 3 的倍數關係,Andy 也提供證明方法,目前還再苦思如何證明迭代漸增是不可能,只要能弄出來就算完成。

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