祝大家中秋愉快，前文已經部份證明出 考拉茲猜想 有正整數歸一的特性，今繼續完成補證。
考拉茲函數為
任意正整數迭代運算後，目前已知結果會出現 fc = 1，今證明之。
證明
因為任一偶數經過除二迭代運算後，最後皆會變成奇數，所以我們專注於奇數的處理。
令 x 為最小不歸一奇數，將 n = x 代入
Case 1: 3n+1 ≡ 0 (mod 4)
只要 3n+1 對四整除，那就證明最小不歸一奇數 x 不存在，並且 fc(n) 會歸一。(待補證明)
1.a 如果 是奇數，因為 x 是最小不歸一奇數，
而 ，就會不成立 x 是最小不歸一奇數，
因此 ，這表示最小不歸一奇數為 1，可是它仍然會 1,4,2,1,4,...歸一。
1.b 如果 是偶數，表示可以一直除二，直到成為奇數，
因為 ，所以不成立 x 是最小不歸一奇數。
Case 2: 3n+1 ≡ 1 or 3 (mod 4)
如果想獲得餘數為 1 or 3，n 必為偶數，而 n 為偶數，就會被一直除二，直到成為奇數，
所以此狀況不成立。
Case 3: 3n+1 ≡ 2 (mod 4)
只要迭代過程出現偶數，那就證明 fc(n) 會歸一。
為非整數，則表示
是奇數，
當最小不歸一奇數 x 要符合 3x+1 ≡ 2 (mod 4) 特性，x ∈ {3, 7, 11, 15, 19, 23, ...}，
也就是可轉化為 ，將它迭代入 fc(n) 應可得不歸一奇數數列，
若要 不歸一必須 p 有無窮大的
，但是 p 為某定值，所以求解
數列過程中就會出現偶數，因而進入 Case 1 狀況，這在前面已證明不存在最小不歸一奇數，所以所有正整數都會歸一。
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觀察一
另外，任一奇數 n 可推算 fc(n) 下一個數為偶數 3n+1，再來是 ，
若 fc(n) 可接受非整除型態的 ，以有理數 r 代替 n，那麼 fc(n) 可改寫為 fq(r)
那麼經過多次迭代運算終將 fq(r) = 1，也就是有歸一特性。
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觀察二
這個問題也可以等效轉化為 n 為偶數時，令 f(n) = 0，去除後續不必要的計算，
還有當 n 為奇數時，3n+1 必為偶數，可縮減運算成 f(n) = (3n+1)/2，
簡單的說，任一奇數迭代過程不會出現偶數，就可以證明 f(n) 不是對所有正整數都會歸一，反之都會歸一。
從下圖可看出，迭代過程總會出現偶數，而且有規律可推算，也可以看出所有正整數經過 f(n) 迭代都會變成 0，所以沒有最小歸一奇數 x。
這問題請教數學系的朋友，他說這是離散數學的領域，前人證明它採取最後變成
兩個新觀察是自己想的，最後 (3n+1) ≡ 2 (mod 4) 根據 Andy 的 4p + 3 想法修改後補證，因此這個證明算是父子我倆聯力合證，如果沒有 Andy 的突想，我應該不會去想證明這個問題。
有網友建議我們研讀前人的論文，這部份會再研究是否有人用過我們的方法，以及學習 coq 數學證明工具讓證明更嚴謹。
Case 3 一開始假設 x0 是最小的不歸一奇數, 接著證明迭代過程一定會出現 xk 是偶數, 因此套用 case 1 的結果推出 x0 不是最小的不歸一奇數, 是這樣子嗎?
回覆刪除但是這樣的論證似乎是有問題的, 因為即使 xk 是偶數, 也無法斷定 xk/2 是比 x0 還小的奇數, 因為中間已經經過了 k 次會變大的迭代 (3n+1), 而非 case 1b 只有經過一次 3n+1
從 case 1 所獲得的重要工具是在 3n+1 ≡ 0 (mod 4) 情況下，都會歸一，並不只有 x0 不是最小的不歸一奇數的結論。所以 xk 是偶數時，即符合 2xk = 3n+1 ≡ 0 (mod 4)，也表示後面的迭代將出現歸一。
刪除case 1 證明的結果是：若 x 是最小不歸一奇數，則 3x+1 != 0 (mod 4)，反過來說就是：若 3x+1 == 0 (mod 4)，則 x 不是最小不歸一奇數。所以頂多只能推論出 x 不是最小不歸一奇數，並沒有強到可以推出 x 一定會歸一。
刪除mnnuahg 謝謝您的指正，Case 1的歸一特性，我再想想如何補證。
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