2019年9月11日 星期三

非電腦證明考拉茲猜想!? (Collatz conjecture)

http://4rdp.blogspot.com/2019/09/collatz-conjecture.html

學習程式設計的過程中,老師可能會出一題數學題讓同學練習基本指令應用。程式設計如下:

輸入一正整數,如果它是奇數,將它乘三加一,如果它是偶數將它除二,所獲得的新數值再代入重複計算,這個演算法總是會得到數值 1 的結果。


從 1930 年代起,德國漢堡大學的學生考拉茲開始研究,到目前為止,還沒有人提出數學上的證明為什麼會這樣。

今天提出非電腦證明考拉茲猜想令 x 為最小不歸一奇數,也就是不會得到數值 1 的結果,







Case 1:

如果  是奇數,因為 x 是最小不歸一奇數,

當 小於 x,不成立它是最小不歸一奇數


因此 ,可是它會 1、4、2、1、4 ..... 歸一循環


Case 2:

那如果  是偶數,表示可以一直除二,直到成為奇數,

也就是 

但  會小於 x,所以不成立它是最小不歸一奇數


Case 3:

如果  是非整數,則表示  是奇數



  (補證請見 http://4rdp.blogspot.com/2019/09/collatz-conjecture-2.html?m=0,感謝 FB 網友林浩誼、鄭忠宜、Peter Shih 等人的指正)


另外,從奇數 x 可推算出下一個數 3x+1 為偶數,再來是 

Case 1:

如果  是偶數,則下一數為 

因為已知 ,就不成立 x 最小不歸一奇數

Case 2:

如果  是奇數





從上文已證,故不歸一的奇數 x 不存在。

請注意本文還缺   是奇數條件下的證明,還不夠完備,完整證明請見 http://4rdp.blogspot.com/2019/09/collatz-conjecture-2.html?m=0

問 Andy (汪翔安) 怎麼知道考拉茲猜想,他說曾見過我某本藏書,可是忘記是哪一本了,他剛好現在想出證明方法,就問我證明過程有沒有瑕疵,個人覺得沒有瑕疵,如果有,請大家指正,謝謝。

補充 FB 社團討論串連結 
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8 則留言:

  1. 3x+1不一定是4的倍數吧

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    1. 不必糾結 (3x+1)/4 非整數,根據第一段的推論邏輯,已證明 x 不存在。

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    2. (3x+1)/2 也可以非整數吧

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    3. 不對。當 x 為奇數時, (3x+1)/2 必為整數。
      證明:因 x 為奇數,可表達為 x=(2y+1) , y 是整數。 (3x+1)/2 = (3(2y+1)+1)/2 = ((6y+3)+1)/2 = (6y+4)/2 = (3y+2) 也是整數。
      另外,細想一下, (3x+1)/2 其實就是 x + ceil(x/2) ,後面那個數字 ceil(x/2) 就是將 x 對半再補到整數。

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    4. 這個證明的漏洞在於沒有解決 (3x+1)/4 不是整數的狀況,也就是 (3x+1)/2 是奇數以致無法被 2 整除,這時候下一個數應該是 (9x+5)/2,但顯然作者對整數的意識不足,才會無法發現如此明顯的瑕疵。建議父子可以代入幾個整數來操作看看,對於數學能力應該有所助益。

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    5. 因為原文撰寫不夠嚴謹清楚,致使證明過程疏漏,空歡喜一場,不過經過大家提點討論,另有收穫,會踏在目前的基礎之上繼續努力。

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  2. case3:
    如果 \frac{3x+1}{4} 是非整數,則表示 \frac{3x+1}{2} 是奇數
    --------------------------------------------------------
    這段我沒看懂。

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    1. 老師,\frac{3x+1}{4} 會有四種狀況,分別為整除、1/4、2/4、3/4,先談 1/4和3/4,這兩種需要 x 為偶數,所以可以排除,因此 2/4 可以推得 \frac{3x+1}{2} 是奇數。

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