2016年6月9日 星期四

Bridan Formula ─ 最新發現數論特性

http://4rdp.blogspot.com/2016/06/bridan-formula.html


這真是令人難忘的端午假期開始,好運接「粽」而來,申請 A273889 數列後,還發現一系列相關算式,這些特性可以無限延伸,從 A273889 數列在此之前未被申請一事,推測這個數論特性應該還未被發現,因此採取網誌公開,搶先CC BY-NC-SA 3.0 TW 方式著作發表
另外在此感謝網友 z423x5c6 以 modular arithmetic 方法證明 (4n-3)!! + (4n-2)!! ≡ 0 mod (4n-1) 數式成立,以相同方式亦可以證明其餘算式成立。下面所有算式的 n = 1, 2, 3, ...
1^(2n-1) + 2^(2n-1) ≡ 0 mod 3
1 + 2 = 3 = 3x1
1x1x1 + 2x2x2 = 9 = 3x3
1x1x1x1x1 + 2x2x2x2x2 = 33 = 3x11


(2n-1)! + 2n! ≡ 0 mod (2n+1)            …..   [(n-1)! + n!] / (n+1) = (n-1)!
1 + 2 = 3 = 3x1
1x2x3 + 2x3x4 = 30 = 5x6
1x2x3x4x5 + 2x3x4x5x6 = 840 = 7x120


(4n-3)!! + (4n-2)!! ≡ 0 mod (4n-1)       ….  已經申請 OEIS A273889
1 + 2 = 3 = 3x1
1x3x5 + 2x4x6 = 63 = 7x9
1x3x5x7x9 + 2x4x6x8x10 = 4785 = 11x435


(6n-5)!!! + (6n-4)!!! ≡ 0 mod (6n-3) ….  已經申請 OEIS A274117
1 + 2 = 3 = 3x1
1x4x7 + 2x5x8 = 108 = 9x12
1x4x7x10x13 + 2x5x8x11x14 = 15960 = 15x1064


(8n-7)!!!! + (8n-6)!!!! ≡ 0 mod (8n-5)
1 + 2 = 3 = 3x1
1x5x9 + 2x6x10 = 165 = 11x15
1x5x9x13x17 + 2x6x10x14x18 = 40185 = 19x2115


其餘類推,這些推想來自 z423x5c6 前些天跟我提到 (6n-5)!!! + (6n-4)!!! ≡ 0 mod (6n-3) 的特性,個人認為這可以無限推展,仔細計算後果真如此。

modular arithmetic 特性證明

a273889_1.png

當數值越大 ! 越來越多,多重階乘數式不容易表示,可以採用下列方式表示,
1 x 4 x 7 x 10 x 13 = 13!!! = 13!(3)
或是用 𝜫 (Pi)
上方所有數式整合成一數學式,稱為 Bridan Formula


k = 0, 1, 2, 3, ·····
n = 1, 2, 3, 4, ·····
另外提出一 Bridan Function,用來表示 Bridan Formula 整除後的商數,



這數論特性姑且稱Bridan Formula 特性個人直覺這特性可能有助於數值拆項分析,未來再找時間請教數論方面專家學者看這是怎樣的新發現。

15 則留言:

  1. 請問「數值拆項分析」意思是?

    還有,其實可以用n!(k)來表示多重階乘(https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E4%B9%98),當k=2,就是雙階乘。但我覺得用階乘符號的數量來表現還是比較方便。

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    1. 關於多重階乘 (Multifactorials, https://en.wikipedia.org/wiki/Factorial) 英文版的定義才正確,當 n!(k) k 很大時,一堆 !!!! 會數不清楚,數量少時 OK

      數值拆項,個人覺得這個可以把一些特定數值,分拆為兩個連乘再相加。

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  2. 那麼,應該就可以用多重階乘將Bridan Formula整理成通式。用求積號也可以。
    我需要一點時間想想......。

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    1. 嗯,以通式表達比較精簡,這部分再想想修正加入。

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    2. 通式 http://imgur.com/Yp2L5eW

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    3. [2kn-(2k-1)]{ ! }^{ (k) }+[2kn-(2k-2)]{ ! }^{ (k) }\equiv0\quad \{ mod\quad [2kn-(2k-3)]\} k = 0, 1, 2, 3, ·····
      n = 1, 2, 3, 4, ·····

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    4. 謝謝你整理一個數式,不過我動作快了點,先寫了一個 Pi 式,我不使用多重階乘,是因為 2!(0) 無法清楚表示要乘幾次,另外,這個數式能否再擴展到 Z 複數領域我不清楚,目前也超出個人能力,大家可以就此為基礎再繼續研究,所以 k 是否為 Z0+ 抱持存疑的態度。

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    5. 定義沒有提到k可不可以等於0,不過可以確定的是我們無法畫出0個階乘符號(笑)。

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    6. 因為可以推導出 1^(2n-1) + 2^(2n-1) ≡ 0 mod 3,就會有 k = 0,
      沒想到一個 2003 數學題竟然無意間找到新數列,以及新數論特性。(樂)

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  3. 請問 同餘的符號\equiv 是不是有時候會直接用等號呈現?

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    1. ≡ 同餘,在數論中是一種等價關係,簡單說兩數除同一個正整數時,餘數相等,這兩數等價,而 = 等號,是全等,兩者意思有差別 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E9%A4%98,同餘有條件限制,不要亂用。

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    2. 經過與你討論後,感覺算式以同餘表示會比較好。

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  4. B(k,n)可以產生很多個新數列。

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    1. 是啊,不過要會寫程式,並且有特殊意義的數列,OEIS 才會讓你加入,
      B(2,n) 是 A273889,B(3,n) 它是 z423x5c6 發現的,其它你可以嘗試申請一個看看,
      不知道這 B(k,n) 函數未來會如何被利用?

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    2. B(k,n) 配合 OEIS 修改為 B(n,k),因此
      B(n,0) = A007583(n) with n >= 1,
      B(n,1) = A009445(n) with n >= 1,
      B(n,2) = A273889(n) with n >= 1,
      B(n,3) = A274117(n) with n >= 1,
      B(1,n) = A000012(n) with n >= 0,
      B(2,n) = A008585(n+1) with n >= 0,
      B(3,n) = A274119(n) with n >= 0,
      B(4,n) = A274117(n) with n >= 0.

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