2016年6月8日 星期三

訓練數學感 101 ─ 男女人口比例

http://4rdp.blogspot.com/2016/06/101.html

假設有個男女人口比例 1:1 平衡的國家,每個家庭都可以正常生育下一代,並且男女嬰出生的機率也是公平一半一半,如果每個家庭都採取生出男嬰後就節育不再生下一胎,請問未來男女人口比例會如何?


這題目是網友行天下提供,我一聽到題目時,直覺未來男女比例會不均衡,並且這問題等效於公平錢幣連續投擲到正面為止,不過這題答案與直覺相反。

5 則留言:

  1. 很有趣的題目!
    假設所有家庭都會不斷生小孩,直至生出男嬰為止,違反直覺的是:每個家庭的男孩和女孩數量的期望值都是1個!亦即未來男女人口比例依然接近1:1。
    證明:
    男孩數量期望值=1/2 x 1 + 1/4 x 1 + 1/8 x 1 + ... = 1 (幾何級數)
    女孩數量期望值=1/2 x 0 + 1/4 x 1 + 1/8 x 2 + ... = ?
    這裡我使用生成函數的方法計算這數列的和:
    Let f(x)=x^2 + 2x^3 + 3x^4 + ...
    f(1/2)就是要找的答案。
    f(x)
    =x^2 + 2x^3 + 3x^4 + ...
    =x^2(1 + 2x + 3x^2 + ...)
    =x^2 (d/dx (x + x^2 + x^3 + ...))
    =x^2 (d/dx (x/(1-x)))
    =x^2/(1-x)^2
    代入x=1/2,答案正正是1!

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    1. 高手的證明,確實男女比例還是 1:1。生成函數對初中生來講太深了,用機率來證明會比較易懂。

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    2. 1 + 2x + 3x^2 + ...=1/(1-x)^2 是很有名的收斂級數,之前一直苦惱證明,原來可以利用積分來解決。

      還有,此題目也反映了早期重男輕女的社會現象。

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    3. 嗯,不是積分,是將f'(x)轉乘d/dx f(x)的形式

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    4. =x^2(1 + 2x + 3x^2 + ...)
      =x^2 (d/dx (x + x^2 + x^3 + ...))
      有隱藏積分在裡面,經過微分又還原成原式,沒想到你也會微積分,這差不多到了高中三年級的程度!

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