2020年10月9日 星期五

訓練數學感 268 ─ 整數直角三角形

http://4rdp.blogspot.com/2020/10/268.html

$一直角三角形，其中直角的一個 a 邊長為 100，請問 b c 有幾組整數邊長？$

這題是 Andy 設計的，他想出求解這類問題的方法。看到這問題，讓我想到數學女孩一書。

另外他發現整數直角三角形有下列特性

$c^{2}=a^{2}+b^{2},\;a^{2}>2b\;\;or\; \;b^{2}>2a,\; \; a,b,c \in N$

難度 ✩✩

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2 則留言:

  1. 行天下2020年10月9日 中午12:21

    a,b,c,a^2+b^2,c^2
    100,75,125,15625,15625
    100,105,145,21025,21025
    100,240,260,67600,67600
    100,495,505,255025,255025
    100,621,629,395641,395641
    100,1248,1252,1567504,1567504
    100,2499,2501,6255001,6255001
    程式暴力解的。
    看了一下，還有一些有意思的解，
    例如
    a=200, b=9999, c=10001. 這類 b,c 差距很小的整數解。
    a=200, b=990, c=1010

    excel vba code，隨手寫的。會有 overflow 的問題。 但拿來玩一下很有意思。
    Sub 巨集1()

    i = 2
    a = 1

    For a = 1 To 200
    For b = 1 To 165535
    result = Sqr(a * a + b * b)
    If result = Int(result) Then
    Cells(i, 1) = a
    Cells(i, 2) = b
    Cells(i, 3) = result
    i = i + 1
    End If
    Next b
    Next a
    MsgBox ("DONE")
    End Sub

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    1. Bridan2020年10月13日 下午2:22

      是的，這一題有這七組解，把 c,b 設為 c=(m+n)/2, b=(m-n)/2，並且 m x n = a^2 為一定值。例如，
      c = (5000+2)/2, b = (5000-2)/2， 5000 x 2 = 10000
      c = (2500+4)/2, b = (2500-4)/2， 2500 x 4 = 10000
      其餘類推

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