2017年6月27日 星期二

訓練數學感 140 ─ 內接正方形有多大

http://4rdp.blogspot.com/2017/06/140.html

題目來自 TMT 8 考題
有一大正方形 ABCD 邊長 10 cm,以其邊長為半徑畫兩個圓弧 AFC 及 BED,請問其內接正方形 EFGH 邊長多少?


小朋友前一陣子參加九九文教基金會第一屆舉辦的台灣中小學數學能力檢定考試 (Taiwan Mathematics Test,簡稱 TMT),這個競試是他主動要求報名,我就讓他去試試,基本上這類比賽屬於比精確也比速度,能快速想出解法的人有利爭取多餘時間去解更多題目。

這型比賽適合經常寫題愛算數的人,我小朋友不屬這類的人,成績自然不會理想,他應是想看看自己程度如何。

4 則留言:

  1. 正方形邊長=6,周長=24.
    使用簡單代數及畢氏定理解題。

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    1. 答案對,解題過程留給高手補充。

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  2. (1)
    連DF,CE⇒DF=AD=BC=CE=10
    (2)
    在△DFG和△CEH中:
    ∵DF=CE(已證),HE=GF(正方形EHGF邊長),∠FGD=∠FGH=90°=∠EHG=∠EHC(正方形EHGF內角)
    ∴△DFG≌△CEH(RHS全等)
    (3)
    ∵△DFG≌△CEH
    ∴DG=CH(對應邊等長)
    ⇒DH=DG-HG=CH-HG=CG
    (4)令正方形EHGF邊長2a
    ⇒DH=CG=(1/2)(10-2a)=5-a
    ⇒DG=10-CG=10-(5-a)=a+5
    (4)在△DFG中:
    ∵∠DGF=∠HGF=90°(正方形EHGF內角)
    ∴DG²+GF²=DF²(畢氏定理)
    ⇒(a+5)²+(2a)²=10²
    ⇒5a²+10a-75=0
    ⇒a²+2a-15=0
    ⇒a=3V-5 (負不合)
    帶入原假設,得正方形EFGH邊長=2a=6(cm)

    解題結束。

    誠實來說,一開始根本沒有人會想去證明DH=CG,而是靠感覺認為直接是相等的。我也是一樣,哈哈。
    如果是非選題的話,DH=CG的證明就顯得有必要性,否則應該會扣分。



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    1. 正解,這題小朋友考試當時未解出,TMT採用填選題是填充題的變體,算出答案後用2B鉛筆把數值塗到答案卡上。30題約一小時解答,滿分150,他說大多數同學沒有超過100分。西瓜若參加應該輕鬆得高分。

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