2017年6月19日 星期一

訓練數學感 139 ─ 角度是多少?

http://4rdp.blogspot.com/2017/06/139.html

一正方形邊長未知,四個角依順時針方向數來,分別是 ABCD,在正方 形內有一點 G,其線段長度 AG、BG、CG 之比例為 1:2:3,試求角 AGB 為多少?



這題是小朋友學校的考題,題目有深度,因而蒐錄。

15 則留言:

  1. http://imgur.com/So1wDZJ
    通常都是以資優題目處理!

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    1. 沒想到這麼快就被破解,厲害,你是怎麼想到旋轉三角型 BCG?

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    2. 經驗法。已知條件如果有一個規則形與一點,並標出該點與規則形各頂點的距離,通常都是要旋轉某些三角形。
      我是以解題技巧視之。

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    3. 這題目即使修改為 AG:BG:CG=2:1:3,也適用。
      中學生幾何題,就是找直角,相似,同等,平行,各類已知特性解題,能想到旋轉非常不易,這題全校沒有同學能正確解答。

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    4. 這種題目一開始除非有相當的天資,否則是絕對錯的,我也是如此。
      中學生的幾何是經典幾何,就是在歐幾里德的幾何原本裡悠遊。經典幾何相較於笛卡兒的解析幾何,解析幾何的問題通常是轉成代數來處理;而經典幾何最難能可貴的是,因為有著「幾何的本質」之單純美感,所以才能在數學史上如同數論般綻放著光彩。

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    5. 幾何就是有種單純的美,形容的真好。說真的,幾何還比數字更為通行,文明的外星人也會懂。

      以前我蠻喜歡製圖,跟喜歡做棋有關,不過都是方方正正的格子,少了很多其它圖案的襯托,而顯得死板。

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  2. 不簡單。我想了30分鐘,還不知道怎麼下手。

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    1. 這題真的很難,可能還有其它種解法。
      加分題,若已知正方形邊長,請求 AG 長度?

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    2. 設AG=l,BG=2l,AB=a(已知)
      AGB中餘弦定理得知
      l^2+(2l)^2-a^2-2(l)(2l)cos135°=0
      5l^2+4l^2(sqrt(2)/2)=a^2
      [5+2sqrt(2)]l^2=a^2
      sqrt(5+2sqrt(2))=a (正解)
      此雙重根號無法簡化。
      故AG=AB‧sqrt[5+2sqrt(2)]

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    3. 倒數第三行少了一個l。

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    4. 推導過程 OK,答案應該是 AG = AB / sqrt[5+2sqrt(2)]
      沒想到角度 AGB 被拿出來用了。
      這讓我想起一篇舊文大圈航法,球面三角形的餘弦定理,
      http://4rdp.blogspot.tw/2011/09/great-circle-sailing.html

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    5. 我在計算角度時使用餘弦定理。但方程組尚不足解出角度值。
      會增加一條輔助線AC,三個小三角型,三個斜邊:a, a, sqrt(2)a,
      還有一個求三角形面積的正弦定理。
      ...寫這麼多,但聯立方程組尚不能解出角度值。

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    6. 就算只用海龍公式一樣也是無法直接解出 AG。
      可是加輔助線 AC 後,餘弦定理應該可以列出 BAC 45度和 ABC 90度聯立方程式。

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    7. 另外,我那年代,餘弦定理應該是高中數學的範疇哩...

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    8. 我也是,國中生知道餘弦定理不簡單。

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