這題是小朋友學校的考題，題目有深度，因而蒐錄。
圓冪定理
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圓冪定理包括相交弦定理，割線定理，切割線定理。 相交弦定理 切割線定理 資料來源：
https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%9C%86%E5%B9%82%E5%AE%9A%E7%90%86
1 天前
2017年6月19日 星期一
訓練數學感 139 ─ 角度是多少？
這題是小朋友學校的考題，題目有深度，因而蒐錄。
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http://imgur.com/So1wDZJ
回覆刪除通常都是以資優題目處理!
沒想到這麼快就被破解，厲害，你是怎麼想到旋轉三角型 BCG？
刪除經驗法。已知條件如果有一個規則形與一點，並標出該點與規則形各頂點的距離，通常都是要旋轉某些三角形。
刪除我是以解題技巧視之。
這題目即使修改為 AG:BG:CG=2:1:3,也適用。
刪除中學生幾何題，就是找直角，相似，同等，平行，各類已知特性解題，能想到旋轉非常不易，這題全校沒有同學能正確解答。
這種題目一開始除非有相當的天資，否則是絕對錯的，我也是如此。
刪除中學生的幾何是經典幾何，就是在歐幾里德的幾何原本裡悠遊。經典幾何相較於笛卡兒的解析幾何，解析幾何的問題通常是轉成代數來處理；而經典幾何最難能可貴的是，因為有著「幾何的本質」之單純美感，所以才能在數學史上如同數論般綻放著光彩。
幾何就是有種單純的美，形容的真好。說真的，幾何還比數字更為通行，文明的外星人也會懂。
刪除以前我蠻喜歡製圖，跟喜歡做棋有關，不過都是方方正正的格子，少了很多其它圖案的襯托，而顯得死板。
不簡單。我想了30分鐘，還不知道怎麼下手。
回覆刪除這題真的很難，可能還有其它種解法。
刪除加分題，若已知正方形邊長，請求 AG 長度？
設AG=l，BG=2l，AB=a(已知)
刪除AGB中餘弦定理得知
l^2+(2l)^2-a^2-2(l)(2l)cos135°=0
5l^2+4l^2(sqrt(2)/2)=a^2
[5+2sqrt(2)]l^2=a^2
sqrt(5+2sqrt(2))=a (正解)
此雙重根號無法簡化。
故AG=AB‧sqrt[5+2sqrt(2)]
倒數第三行少了一個l。
刪除推導過程 OK，答案應該是 AG = AB / sqrt[5+2sqrt(2)]
刪除沒想到角度 AGB 被拿出來用了。
這讓我想起一篇舊文大圈航法，球面三角形的餘弦定理，
http://4rdp.blogspot.tw/2011/09/great-circle-sailing.html
我在計算角度時使用餘弦定理。但方程組尚不足解出角度值。
刪除會增加一條輔助線AC，三個小三角型，三個斜邊:a, a, sqrt(2)a，
還有一個求三角形面積的正弦定理。
...寫這麼多，但聯立方程組尚不能解出角度值。
就算只用海龍公式一樣也是無法直接解出 AG。
刪除可是加輔助線 AC 後，餘弦定理應該可以列出 BAC 45度和 ABC 90度聯立方程式。
另外，我那年代，餘弦定理應該是高中數學的範疇哩...
刪除我也是，國中生知道餘弦定理不簡單。
刪除餘弦定理現行是編在普通高級中學的第三冊中。
刪除初次見到我記得是國一，要找海龍公式的證明時偶然看到的。
謝謝西瓜補充，我的課本在專科一年級上學期就學三角函數，餘弦定理當然是重點，但是我的課本裡沒有海龍公式。
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