倒水瓶是很傳統的益智問題,例如有兩個無刻度的水瓶,容量分別為 3 公升及 5 公升,那如何精確獲得 4 公升?
一、將 5 公升水瓶裝滿
二、把 5 公升水瓶倒滿 3 公升水瓶,5 公升水瓶剩 2 公升
三、將 3 公升水瓶水倒光
四、把 5 公升水瓶中 2 公升水倒倒 3 公升水瓶
五、將 5 公升水瓶裝滿
六、把 5 公升水瓶倒滿 3 公升水瓶,5 公升水瓶剩 4 公升
也可表示為,這需要六個步驟
1, 5/5 and 0/3
2, 2/5 and 3/3
3, 2/5 and 0/3
4, 0/5 and 2/3
5, 5/5 and 2/3
6, 4/5 and 3/3
簡單數學式 5 x 2 - 3 x 2 = 4
好,蒐集五題給有興趣的朋友解題,要最少步驟 (有的題目不只一種解法),希望提供解答時,給予詳細步驟說明,最後要量的水倒到第一個水瓶,注意有三個水瓶。
一、0/15 and 0/19 and 0/4 → 5/15 and x/19 and x/4
二、0/14 and 0/17 and 0/7 → 12/14 and x/17 and x/7
三、0/19 and 0/16 and 0/3 → 8/19 and x/16 and x/3
四、0/13 and 0/19 and 0/6 → 3/13 and x/19 and x/6
五、0/14 and 0/5 and 0/19 → 12/14 and x/5 and x/19
這個數學遊戲非常適合小學中年級學生,正好訓練加減乘除,手機平板可以下載 Water Capacity APP (韓國人製),正在學程式設計的同學也可以拿它來練習,寫互動程式以及如何程式求出最佳解。
【開箱】華碩 ASUS Tinker Board 3S開箱、系統安裝教學文
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〈【開箱】華碩 ASUS Tinker Board 3S開箱、系統安裝教學文〉這篇文章最早發佈於《CAVEDU教育團隊技術部落格》。
15 小時前
我在想,如果兩個水瓶經過倒來倒去的程序可以得到1公升的水,那麼就可以獲得任意整數容量的水了。猜想如此,但是證明卻又是另一回事了。
回覆刪除是啊,只要一奇一偶的水瓶就可以得到最小單位 1 L 水量,不過想證明它,還真的蠻難的。
刪除補充,必須是互質的奇偶數。
刪除不需要一奇一偶,只要兩數互質就能得出1公升水。
刪除例如:13,19
Linke 謝謝你,更正我的錯誤
刪除我們這些業餘的數學愛好者,竟然能這麼深入討論一些有趣的數學題,沒想到看似簡單的問題,學問很多。
現在的難題是如何找出最少步驟。
要找出最小步驟,我覺得一定要與“滿足-b<=x<=b , -a<=y<=a”的唯一解x,y有關
回覆刪除暫列幾個只含有兩個瓶子的花生(栗子)來討論:
例子一,To 3/4 and x/5
解出當x=2 ,y=1 時,有 2 * 4 - 1 * 5 = 3;
倒水步驟如下:
4/4,0/5
0/4,4/5
4/4,4/5
3/4,5/5
當解為(2,1)時,一共需要4步完成。
例子二,To 3/5 and x/4
解出當x=1,y=2時,有 2 * 4 - 1 * 5 = 3
倒水步驟如下:
0/5,4/4
4/5,0/4
4/5,4/4
5/5,3/4
0/5,3/4
3/5,0/4
當解為(1,2)時,需要6步完成。
當然這題還有另一個解(3,3),但步驟肯定大於6,不討論。
例子三,To 2/3 and 0/7
解出當x=3,y=1時,有 3 * 2 - 1 * 7 = 2
倒水步驟如下:
3/3,0/7
0/3,3/7
3/3,3/7
0/3,6/7
3/3,6/7
2/3,7/7
當解為(3,1)時,需要6步完成。
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小結:當解為(x,1)時,且a<b時,最少需要2x步完成;
當解為(1,y)時,且a<b時,最少需要2y+2步完成。
Linke,這題的解釋我看不太懂,少了對 a,b,x,y 等代數的定義,另外,一些小誤的地方,做個修正,你的原文重貼如下:
回覆刪除要找出最小步驟,我覺得一定要與“滿足-b<=x<=b , -a<=y<=a”的唯一解x,y有關
暫列幾個只含有兩個瓶子的花生(栗子)來討論:
例子一,To 3/4 and x/5
解出當x=2 ,y=-1 時,有 2 * 4 - 1 * 5 = 3;
倒水步驟如下:
4/4,0/5
0/4,4/5
4/4,4/5
3/4,5/5
當解為(2,-1)時,一共需要4步完成。
例子二,To 3/5 and x/4
解出當x=-1,y=2時,有 -1 * 5 + 2 * 4 = 3
倒水步驟如下:
0/5,4/4
4/5,0/4
4/5,4/4
5/5,3/4
0/5,3/4
3/5,0/4
當解為(-1,2)時,需要6步完成。
當然這題還有另一個解(3,-3),但步驟肯定大於6,不討論。
例子三,To 2/3 and 0/7
解出當x=3,y=-1時,有 3 * 3 - 1 * 7 = 2
倒水步驟如下:
3/3,0/7
0/3,3/7
3/3,3/7
0/3,6/7
3/3,6/7
2/3,7/7
當解為(3,-1)時,需要6步完成。
---------------------------------------------------
小結:當解為(x,-1)時,且a<b時,最少需要2x步完成;
當解為(-1,y)時,且a<b時,最少需要2y+2步完成。