2014年7月30日 星期三

訓練數學感 27 ─ 倒水瓶

http://4rdp.blogspot.com/2014/07/27.html

倒水瓶是很傳統的益智問題,例如有兩個無刻度的水瓶,容量分別為 3 公升及 5 公升,那如何精確獲得 4 公升?

一、將 5 公升水瓶裝滿
二、把 5 公升水瓶倒滿 3 公升水瓶,5 公升水瓶剩 2 公升
三、將 3 公升水瓶水倒光
四、把 5 公升水瓶中 2 公升水倒倒 3 公升水瓶
五、將 5 公升水瓶裝滿
六、把 5 公升水瓶倒滿 3 公升水瓶,5 公升水瓶剩 4 公升

也可表示為,這需要六個步驟
1, 5/5 and 0/3
2, 2/5 and 3/3
3, 2/5 and 0/3
4, 0/5 and 2/3
5, 5/5 and 2/3
6, 4/5 and 3/3

簡單數學式 5 x 2 - 3 x 2 = 4

好,蒐集五題給有興趣的朋友解題,要最少步驟 (有的題目不只一種解法),希望提供解答時,給予詳細步驟說明,最後要量的水倒到第一個水瓶,注意有三個水瓶。

一、0/15 and 0/19 and 0/4  → 5/15 and x/19 and x/4
二、0/14 and 0/17 and 0/7  → 12/14 and x/17 and x/7
三、0/19 and 0/16 and 0/3  → 8/19 and x/16 and x/3
四、0/13 and 0/19 and 0/6  → 3/13 and x/19 and x/6
五、0/14 and 0/5 and 0/19  → 12/14 and x/5 and x/19

這個數學遊戲非常適合小學中年級學生,正好訓練加減乘除,手機平板可以下載 Water Capacity APP (韓國人製),正在學程式設計的同學也可以拿它來練習,寫互動程式以及如何程式求出最佳解

8 則留言:

  1. 我在想,如果兩個水瓶經過倒來倒去的程序可以得到1公升的水,那麼就可以獲得任意整數容量的水了。猜想如此,但是證明卻又是另一回事了。

    回覆刪除
    回覆
    1. 是啊,只要一奇一偶的水瓶就可以得到最小單位 1 L 水量,不過想證明它,還真的蠻難的。

      刪除
    2. 補充,必須是互質的奇偶數。

      刪除
    3. 不需要一奇一偶,只要兩數互質就能得出1公升水。
      例如:13,19

      刪除
    4. http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B2%9D%E7%A5%96%E7%AD%89%E5%BC%8F
      對於任意整數a,b,在貝祖等式 ax - by = m 中,
      當m = d = 1 且 x,y有整數解(即用減除法求得最大公約數d為1)時,a,b互質。
      其中的1,就是之前提到的最小單位1L水量。
      再套用貝祖定理:當m=1時,對於任意正整數水量d,在ax - by = d 中,
      有且僅有一個解(x,y),滿足-b<=x<=b , -a<=y<=a
      得證:如果兩水瓶容積互質,則必然可以獲得其中最大容積内任意整數容量的水。

      刪除
    5. Linke 謝謝你,更正我的錯誤

      我們這些業餘的數學愛好者,竟然能這麼深入討論一些有趣的數學題,沒想到看似簡單的問題,學問很多。
      現在的難題是如何找出最少步驟。

      刪除
  2. 要找出最小步驟,我覺得一定要與“滿足-b<=x<=b , -a<=y<=a”的唯一解x,y有關
    暫列幾個只含有兩個瓶子的花生(栗子)來討論:
    例子一,To 3/4 and x/5
    解出當x=2 ,y=1 時,有 2 * 4 - 1 * 5 = 3;
    倒水步驟如下:
    4/4,0/5
    0/4,4/5
    4/4,4/5
    3/4,5/5
    當解為(2,1)時,一共需要4步完成。
    例子二,To 3/5 and x/4
    解出當x=1,y=2時,有 2 * 4 - 1 * 5 = 3
    倒水步驟如下:
    0/5,4/4
    4/5,0/4
    4/5,4/4
    5/5,3/4
    0/5,3/4
    3/5,0/4
    當解為(1,2)時,需要6步完成。
    當然這題還有另一個解(3,3),但步驟肯定大於6,不討論。
    例子三,To 2/3 and 0/7
    解出當x=3,y=1時,有 3 * 2 - 1 * 7 = 2
    倒水步驟如下:
    3/3,0/7
    0/3,3/7
    3/3,3/7
    0/3,6/7
    3/3,6/7
    2/3,7/7
    當解為(3,1)時,需要6步完成。
    ---------------------------------------------------
    小結:當解為(x,1)時,且a<b時,最少需要2x步完成;
    當解為(1,y)時,且a<b時,最少需要2y+2步完成。

    回覆刪除
  3. Linke,這題的解釋我看不太懂,少了對 a,b,x,y 等代數的定義,另外,一些小誤的地方,做個修正,你的原文重貼如下:

    要找出最小步驟,我覺得一定要與“滿足-b<=x<=b , -a<=y<=a”的唯一解x,y有關
    暫列幾個只含有兩個瓶子的花生(栗子)來討論:
    例子一,To 3/4 and x/5
    解出當x=2 ,y=-1 時,有 2 * 4 - 1 * 5 = 3;
    倒水步驟如下:
    4/4,0/5
    0/4,4/5
    4/4,4/5
    3/4,5/5
    當解為(2,-1)時,一共需要4步完成。

    例子二,To 3/5 and x/4
    解出當x=-1,y=2時,有 -1 * 5 + 2 * 4 = 3
    倒水步驟如下:
    0/5,4/4
    4/5,0/4
    4/5,4/4
    5/5,3/4
    0/5,3/4
    3/5,0/4
    當解為(-1,2)時,需要6步完成。
    當然這題還有另一個解(3,-3),但步驟肯定大於6,不討論。

    例子三,To 2/3 and 0/7
    解出當x=3,y=-1時,有 3 * 3 - 1 * 7 = 2
    倒水步驟如下:
    3/3,0/7
    0/3,3/7
    3/3,3/7
    0/3,6/7
    3/3,6/7
    2/3,7/7
    當解為(3,-1)時,需要6步完成。
    ---------------------------------------------------
    小結:當解為(x,-1)時,且a<b時,最少需要2x步完成;
    當解為(-1,y)時,且a<b時,最少需要2y+2步完成。

    回覆刪除