2016年2月10日 星期三

訓練數學感 87 ─ 四子三連線

http://4rdp.blogspot.com/2016/02/87.html

猴年開春祝大家事事如意,也期望台南永康維冠震災能救援快速與順利。

這題就像五子棋一樣,在圍棋盤上只要四子就可以一連線,可以直線、橫線、45度斜線,請問最少需要幾顆子可以排列三連線?這是單人遊戲,只用一色棋子即可。

這題是小朋友考我的題目,看似簡單,不過仍有深度。

26 則留言:

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    1. 正解,請描述一下九子應該如何排列?

      加分題,四子如果要四連線、五連線、六連線,各需要幾顆最少子?

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  2. https://www.desmos.com/calculator/6bwxga17xe
    三線連成一三角形,只要有三個點交會即可,原本三條線要用的12子,減去重複的3子,為9子。

    四連線:12子 https://www.desmos.com/calculator/ah5ej1jwjp
    五連線:15子 https://www.desmos.com/calculator/e3cw4l1cgm
    六連線:18子 https://www.desmos.com/calculator/f4gg1xfchm

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    1. 三連線正解,但四、五、六連線再想想,你蠻厲害的,可以利用圖形計算機解題,讚!

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    2. 四連線 https://www.desmos.com/calculator/po2zgcfof6 11子
      五連線 https://www.desmos.com/calculator/wykq4lci77 12子
      六連線 https://www.desmos.com/calculator/cr81pmnfkq 13子

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    3. 除了45度,如果還能接受其它斜率的直線,用子應該也會不同。

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    4. 是的,當斜率不限45度時,結論應該會不同是,不過在此仍限制45斜線,以簡化難度。
      赤子西瓜的解答正確。接下來是進階題,當繼續擴展七連線以上,可否找到一個通解關係?我確定這是一個全新數列,有興趣的人努力找,西瓜它可以當你數學科展的好題材,加油。

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    5. 關於數列尋找可參考舊文 http://4rdp.blogspot.tw/2013/07/oeis-a227392-1-2-2-3-5-6-10-6-9.html

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    6. 按4,7,9,11,12,13,14,15,16,16,18 搜索,OEIS確實沒有這個數列。

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    7. 偶然看見這個題目.發現
      四子三連線 之 六連線還可以https://www.desmos.com/calculator/eqzyaq0v4b
      12子

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    8. 您的觀察是正確的,https://oeis.org/A273916/a273916.png,目前需要補充的是 16 連線以上,謝謝

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  3. 當連線不斷增多時,禁手問題就突顯出來了。例如: XXXXX
    這樣排列的五個棋子,應算1條連線,還是算0條(因為超過4子連,視為禁手),抑或是算有三子重合的2條連線?如果是最後一種情況,那麼前面的結論要重新計算了。

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  4. 謝謝老師提醒要點,對於五子以上連線,建議先用禁手方式處理,第二種處理方式視為同一條線,至於第三種多重線重疊,個人不建議,因為它可以每加一子多一條線就沒什麼好玩。

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    1. 我也有查覺到這一點,前面的結論有盡量避開這一部分。

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  5. 還有一點,在10連線時,最少用子是16子,但是此時的狀況是4x4的矩陣 https://www.desmos.com/calculator/qotdusmep3
    此時下每一步都是禁手。

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  6. 從第一種有禁手的規則,並允許不連子,第十一條線,就要另闢戰場,應該可以很快找到規則性。

    如果仍有禁手規定,並且要求必須連子,這又會是什麼情形?

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    1. 雖然禁手使得相連的兩個矩陣少了兩條線(因為禁手算0條),但同時也增加了兩條!故實際連線數並未減少。
      相反,從第三個矩陣開始,每多一個矩陣,都可以從原本已經是禁手的連線中多獲得1條線!(如圖)
      X X X X X X X X X X X X
      X X X X X X X X X X X X
      X X X X X X X X X X X X
      X X X X x X X X X x X X X X
      x
      X X X X x X X X X x X X X X
      X X X X X X X X X X X X
      X X X X X X X X X X X X
      X X X X X X X X X X X X
      所以不要怕禁手。

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    2. 老師您的圖,我看不懂意思,有空再補充說明,謝謝。

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    3. X X X X o X X X X o X X X X
      X X X X o X X X X o X X X X
      X X X X o X X X X o X X X X
      X X X X X X X X X X X X X X
      X o o o o o o o o o o o o o
      X X X X X X X X X X X X X X
      X X X X o X X X X o X X X X
      X X X X o X X X X o X X X X
      X X X X o X X X X o X X X X

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    4. 終於排好了,X表示要下棋子的地方,o表示留空的地方。

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    5. 這是一幅可以無限擴展的圖,所有最少子的連線圖,應該都可以從中找出來。

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    6. 老師謝謝你,看懂你的圖了,我不確定這是否為最佳連圖,如果是,那確實可以無限相連。

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    7. X X X X o X X X X o X X X X
      X X X X o X X X X o X X X X
      X X X X o X X X X o X X X X
      X X X X X X X X X X X X X X X
      依據老師畫的圖的上半部(在此我只有討論上半部)
      4,7,9,11,12,13,14,15,16,16,18,
      21,24,26,28,30,31,32,32,33,34,35,
      38,41,43,45,47,48,49,49,50,51,52,
      55,58,60,62,64,65,66,66,67,68,69,...
      第一行有點不同,二行開始照規律持續下去

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  7. 回覆
    1. 請問十一連線是18子嗎?
      XXXXXX
      .XXXX
      .XXXX
      .XXXX

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    2. 如果有禁手並可連子,依據你排列方式,十一連線 18 子應該是最少。

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