2017年12月2日 星期六

訓練數學感 155 ─ 有多少個三角形？

http://4rdp.blogspot.com/2017/12/155.html

數數看有多個三角形？

難度 ✩

靜下心研究，一定會有所得。

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10 則留言:

  1. flyingdusts2017年12月4日 下午2:58

    用1個小三角形組成的，4+3+2+1+3+2+1
    用2個小三角形組成的，0
    用3個小三角形組成的，0
    用4個小三角形組成的，3+2+1+1
    用5個小三角形組成的，0
    用6個小三角形組成的，0
    用7個小三角形組成的，0
    用8個小三角形組成的，0
    用9個小三角形組成的，2+1
    用10個小三角形組成的，0
    用11個小三角形組成的，0
    用12個小三角形組成的，0
    用13個小三角形組成的，0
    用14個小三角形組成的，0
    用15個小三角形組成的，0
    用16個小三角形組成的，1

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  2. Bridan2017年12月5日 下午5:57

    正解，加分題，如果這四個單位最大三角形，擴展成 N 個單位，請問總數的數列為何?

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  3. .2017年12月10日 上午9:30

    N個單位大三角形
    運用一個恆等式
    (1)(1+1)/2+(2)(2+1)/2+3(3+1)/2+...+n(n+1)/2=(n+1)(n+2)(n+3)/6
    四面體數!哈，科展沒有白學。
    正置三角形∆+倒置三角形∇總數
    (1/6)[(n+1)(n+2)(n+3)+(n+1-2⌊N/2⌋)(n+2-2⌊N/2⌋)(n+3-2⌊N/2⌋)]

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    1. Bridan2017年12月10日 上午10:33

      是的，它跟四面體數相關，n = N-1，代入正置三角形是正確，但是倒置三角的部分需要檢討。

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  4. flyingdusts2017年12月12日 上午11:36

    如果這四個單位最大三角形，擴展成 N 個單位，則
    共有 N*N 個最小號三角形。
    則正三角形有 N*(N+1)*(N+2)/6 個
    倒三角按N為奇偶分兩種情況，
    1、當N為偶數，
    2、當N為奇數

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    1. Bridan2017年12月12日 晚上7:56

      謝謝老師補充一些特性。

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    2. flyingdusts2017年12月13日 上午10:15

      1、當N為偶數時，倒三角個數為數列A000384 的和
      即數列1,1+2+3,1+2+3+4+5,1+2+3+4+5+6+7...... 的和
      2、當N為奇數時，倒三角個數為數列A014105 的和
      即數列0,1+2,1+2+3+4,1+2+3+4+5+6...... 的和
      -----------------------------------
      問題：這種二階等差數列怎樣求和？

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    3. flyingdusts2017年12月13日 上午11:01

      以下計算來源於wolframalpha：
      1、當然N為偶數時，
      sum_(n=0)^m n (-1 + 2 n) = 1/6 m (m + 1) (4 m - 1)
      （m = n/2）
      合併展開得：1/6*N/2(N/2+1)(2N-1) = N^3/12 + N^2/8 - N/12
      2、當然N為奇數時，
      sum_(n=0)^m n (1 + 2 n) = 1/6 m (m + 1) (4 m + 5)
      （m = (n+1)/2)
      合併展開得：n^3/12 + (5 n^2)/8 + (17 n)/12 + 7/8

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    4. flyingdusts2017年12月13日 中午12:10

      勘誤：上篇最後兩行應為
      （m = (n-1)/2)
      合併展開得：N^3/12 + N^2/8 - N/12 - 1/8
      -----------------------------------------
      結論：
      1、當N為偶數時，N^3/6 + N^2/2 + N/3 + N^3/12 + N^2/8 - N/12
      合併得：1/4*N^3 + 5/8*N^2 + 1/4*N
      2、當N為奇數時，N^3/6 + N^2/2 + N/3 + N^3/12 + N^2/8 - N/12 - 1/8
      合併得：1/4*N^3 + 5/8*N^2 + 1/4*N - 1/8

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    5. Bridan2017年12月13日 晚上10:19

      嗯，結論正確，數列呼之欲出。

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