這題也是 Andy 發想的問題，放寒假第一天就送上這份作業給我。
受日本網友啟發創作「幾何光束︱GeoRay」
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「幾何光束」從起意到製作完成，只有短短的兩三天時間。期間還經歷了quanAI因超額而不能用了，好在claude免費版的數學和寫代碼能力也是超強的。
直接把玩： georay.ejsoon.top
當我在某論壇上見到這位日本朋友做的一款在圓內分割的遊戲，我就萌生了做這款遊戲的想法。很快在AI的幫助下，這個想法變...
1 天前
令$\overline{OE}=a,\overline{OA}=b,\overline{OC}=c$
回覆刪除列式
\［\left\{\begin{matrix}\triangle EOF=\frac{1}{2}ab\sin60^{\circ}=10\\ \triangle AOB=\frac{1}{2}bc\sin60^{\circ}=8\\ \triangle DOC=\frac{1}{2}ca\sin60^{\circ}=20\\ \end{matrix}\right.\］
化簡
\ [\left\{\begin{matrix}ab=\frac{40}{\sqrt{3}}\\bc=\frac{32}{\sqrt{3}}\\ca=\frac{80}{\sqrt{3}}\\\end{matrix}\right.\]
三式相乘，取正平方根：
\ [abc=\frac{320}{\sqrt[4]{27}}\]
除以上面各式，得到
\ [\left\{\begin{matrix}a=\frac{8}{\sqrt[4]{3}}\\b=\frac{10}{\sqrt[4]{3}}\\c=\frac{4}{\sqrt[4]{3}}\\\end{matrix}\right.\]
有了邊長之後，計算面積：
\ [\left\{\begin{matrix}\triangle EOD=16\\\triangle FOA=25\\\triangle COB=4\\\end{matrix}\right.\]
好像可以不用算出邊長。
觀察所得
回覆刪除AF//BE
BC//AD
DE//CF
△OEF和 △OCD等高
△OAB和 △OCD等高
△OAB和 △OEF等高
可分別求出底邊之比
10：8同邊20：10
刪除化簡得5：4：2
正三角形邊長之比已知，
面積之比則為平方倍25:16:4
但這只是比例
西瓜的答案正解，我的解法跟西瓜一樣，不過我是很不認真的想很多天。
回覆刪除孫老師的方法確實可以快速找到正三角形的面積比。
另外，Andy 出這題目是他發現三角形面積之間有幾何平均的關係，
sqrt(25*16) = 20
sqrt(4*16) = 8
sqrt(25*4) = 10
加分題，如果 ∠AOB, ∠COD, ∠EOF 都不是 60°，請問有解嗎?
這樣的話答案不唯一啊，只能計算最大最小值。
刪除面積最小值，是角度為 0° 與 180°，最大面積角度是 90°，關係為 sin。
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