2018年12月5日 星期三

4rdp 益智拼圖的節點公式

http://4rdp.blogspot.com/2018/12/4rdp.html

(4) + (3) / 2 = 10 + (17 + 33) / 2 = 35
今年是意外收穫的一年,在年初設計了這個拼圖,然後利用勞動部勞動力發展署北分署創客基地的機具設備試作出來,而且還獲得北分署「我是創客 ─ 創意設計競賽」第三名,自己玩這拼圖時,發覺它有很多數學問題可以研究,本篇文章就是其中一個新發現,這要謝謝我的朋友 Louis,因為每天觀察他在 FB 4rdp 益智拼圖社團所拼的圖,隱約覺得可以從節點發現一些有趣的事,所以先看看拼圖的節點型態以及數量多寡,以上圖為例,計算 (4) 的數量有 10 個,邊緣的 (3) 有 17 個,內部的 (3) 有 33 個,比對其它的圖,得知這些數值皆非定值常數,把它們總和也一樣。

就在看不出所以然之際,注意到這些圖有一個特點就是 (3) 的總和都是偶數,還有想到一個 (4) 的節點可以被分拆成兩個 (3),那麼就試看看 (4) + (3) / 2 = 10 + (17 + 33) / 2 = 35,再比對其它的圖,發現都是定值常數 35。


36 - 1 = 9 + 52 / 2 = 35

因此我就從最簡單的圖解,檢視它的規律性,先看節點推論過程,(B) 表示區塊的數量,從左邊一個區塊,然後分割成兩個,再變成四個,接著變形調整,可是不管怎樣變化,都符合 (B) - 1 = (4) + (3) / 2 , 4rdp 益智拼圖有 36 片拼塊,上面第二張圖也符合 36 - 1 = 9 + 52 / 2 = 35 。




這個發現在研發養成所部落格 11 月 26 日發表專文後,網友 Yi-Hong Chen 幫我補充節點 (5) 和節點 (6) 公式,(B) - 1 = 2*(6) + 1.5*(5) + (4) + 0.5*(3)

其實個人發現這公式不只如此,還可以拓展成:



N為 k 條線交會節點數量,例如 N是 (3) 節點的總數。還有發現線段、圈圈、(2) 節點也 OK。其實從節點公式可知,(2) 節點是可以略除的,(1) 節點則是點與線可以同時去除,因為它們要形成封閉區塊是多餘的。
把它拓展到三維空間也適用,不過公式要改一下:



分析到這裡,驚覺它好像跟歐拉公式(Euler characteristic)有關連性,



前面公式中的 (B) 就是 F (面 Faces),其它 E 是邊 (Edges),V 是頂點 (Vertices),



希望這個能夠成為大數據學習的案例,許多好東西需要這樣觀察、匯整、歸納、假設、驗證證明才能萃煉出來,也希望這個研究過程能夠啟發一些朋友學習數學的興趣。

對了,還有一個數學難題未解,大家研究看看,精確計算 4rdp 益智拼圖花樣數量

延伸閱讀
4rdp 益智拼圖總整理

4 則留言:

  1. 首先恭喜汪先生榮登探花!
    依照頂點來分類,這個提法使我想到一個新的點子,就是單獨分析每一塊拼圖的性質。
    可以把頂點分成凸定點和凹頂點兩類。
    例如I型只有4個凸定點,沒有凹頂點,L型有5個凸頂點和1個凹頂點。
    特別的T有6個凸頂點和2個凹頂點。
    發現一:凹凸頂點的數目和一定是偶數。
    發現二:凹頂點只能和凸頂點相拼,其節點形態始終為2。
    發現三:凸頂點還能與凸頂點相拼,其節點形態可以為3或者4。
    事實一:相鄰兩個節點的距離,最小為1,最大為4
    事實二:圖形的組合可以互相轉化,從而使原本放不進的拼圖塊經過調整位置後可以放進。
    例如,一個類似“申”字的凹槽可以由以下圖塊填滿,S+S 或 Z+Z 或 T+T
    發現四:兩個3的節點可以轉化為一個4和一個2的節點,同時,同一區域的另一個3的節點必會與某一個2的節點互換。

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    1. 謝謝老師的恭賀,您的觀察很值得記錄與分享,也許可以利用這些特性解謎,有些圖會排不出來。

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    2. 能否請老師舉例說明發現四,謝謝。

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    3. 補充請見,https://www.facebook.com/groups/2154352131517794/permalink/2318607098425629/?comment_id=2318623785090627&reply_comment_id=2318633231756349&comment_tracking=%7B%22tn%22%3A%22R%22%7D

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