4rdp 益智拼圖的節點公式

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(4) + (3) / 2 = 10 + (17 + 33) / 2 = 35

今年是意外收穫的一年，在年初設計了這個拼圖，然後利用勞動部勞動力發展署北分署創客基地的機具設備試作出來，而且還獲得北分署「我是創客 ─ 創意設計競賽」第三名，自己玩這拼圖時，發覺它有很多數學問題可以研究，本篇文章就是其中一個新發現，這要謝謝我的朋友 Louis，因為每天觀察他在 FB 4rdp 益智拼圖社團所拼的圖，隱約覺得可以從節點發現一些有趣的事，所以先看看拼圖的節點型態以及數量多寡，以上圖為例，計算 (4) 的數量有 10 個，邊緣的 (3) 有 17 個，內部的 (3) 有 33 個，比對其它的圖，得知這些數值皆非定值常數，把它們總和也一樣。

就在看不出所以然之際，注意到這些圖有一個特點就是 (3) 的總和都是偶數，還有想到一個 (4) 的節點可以被分拆成兩個 (3)，那麼就試看看 (4) + (3) / 2 = 10 + (17 + 33) / 2 = 35，再比對其它的圖，發現都是定值常數 35。

36 - 1 = 9 + 52 / 2 = 35

因此我就從最簡單的圖解，檢視它的規律性，先看節點推論過程，(B) 表示區塊的數量，從左邊一個區塊，然後分割成兩個，再變成四個，接著變形調整，可是不管怎樣變化，都符合 (B) - 1 = (4) + (3) / 2 ， 4rdp 益智拼圖有 36 片拼塊，上面第二張圖也符合 36 - 1 = 9 + 52 / 2 = 35 。

這個發現在研發養成所部落格 11 月 26 日發表專文後，網友 Yi-Hong Chen 幫我補充節點 (5) 和節點 (6) 公式，(B) - 1 = 2*(6) + 1.5*(5) + (4) + 0.5*(3)

其實個人發現這公式不只如此，還可以拓展成：



N_k 為 k 條線交會節點數量，例如 N₃ 是 (3) 節點的總數。還有發現線段、圈圈、(2) 節點也 OK。其實從節點公式可知，(2) 節點是可以略除的，(1) 節點則是點與線可以同時去除，因為它們要形成封閉區塊是多餘的。

把它拓展到三維空間也適用，不過公式要改一下：

分析到這裡，驚覺它好像跟歐拉公式（Euler characteristic）有關連性，



前面公式中的 (B) 就是 F (面 Faces)，其它 E 是邊 (Edges)，V 是頂點 (Vertices)，



希望這個能夠成為大數據學習的案例，許多好東西需要這樣觀察、匯整、歸納、假設、驗證證明才能萃煉出來，也希望這個研究過程能夠啟發一些朋友學習數學的興趣。

對了，還有一個數學難題未解，大家研究看看，精確計算 4rdp 益智拼圖花樣數量。

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