2018年5月14日 星期一

訓練數學感 174 ─ 4rdp 四格益智拼圖 (Tetromino)

http://4rdp.blogspot.com/2018/05/174-tetromino.html


這是一個 12 x 12 格的拼圖,有七種基本圖塊:I 字、O 字、L字、J 字、Z 字、S 字、T 字,除了T 字有六片,其餘各有五片,因為正面有格線,所以不能翻面拼擺。

請問利用這些圖塊可以拼出正方形有多少種排列方式?

拼圖,大家小時候應該都玩過它,不過常見的拼圖都是正面有彩繪圖案,長得像 ++、X 或是 土字,目的將圖塊之間能夠緊扣不脫落,玩家可藉由圖案或是拼圖塊形狀特徵來推理擺放位置,還有這些拼圖加上彩繪圖案,也限制了拼圖塊不能旋轉與任意放置。另外也有相關商品把它製成積木型式,並且混入兩塊、三塊、五塊積木而成,純四塊積木拼圖 (四連方 Tetromino),可能大家覺得它太簡單,而沒有見過實際商品販售,因此我就設計一個,這個遊戲是一個基礎圖塊的位置擺放問題。

這個遊戲發想由來,來自參加遊能有愉桌遊設計活動,當時想出這遊戲雛型,希望給五歲以上的小朋友玩,不過它跟能源議題無直接關聯,屬於抽象遊戲,就沒有拿出來參賽。雖然初始是給小朋友的,但是多了外框,這就變成了大人的遊戲,你可以用這些基礎圖塊任意擺放,不過要把它們拼出正方型可是有難度的,厲害的人五分鐘可能可以拼出一個,也可能要搞半小時才填滿它。

4rdp 四格拼圖,它結合 Maker、數學與桌遊,因為這是我親手製圖,操作雷射切割機製作出來的,估算過這 36 片拼圖的難度比魔術方塊還高,魔術方塊只有一種解,但是它可以有非常非常多種排法 (還沒想出解法,可能超過一萬),但是要排出其中一種解又不是簡單的事,除了拼圖,它還可以像圍棋般下棋,下次再跟大家說明其它玩法,這可以競賽也可以玩合作遊戲,是一款簡單又非常益智的拼圖。

誰能解答這問題,我會贈送他一份自己親手做的拼圖盤。


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7 則留言:

  1. 這樣不能保證最後一塊一定能放進去吧?

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    1. 是的,如果前面 34、35 片拼塊排得不好,那最後兩片絕對擺不進去。不過我的問題是這 36 片拼塊都能擺進去時,會有多少種排列方式?

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  2. 這個題目我想了幾日,都想不到應該從哪裏開始。
    另提一道題目,看是否能簡化這個問題。
    是否存在這樣一個圖形,其由4*n(n是不大於35的正整數)個相連的小正方形組成,
    在不多於5片的I字、O字、L字、J字、Z字、S字、T字中任意取出n塊,總會有一種方法可以完美鋪滿這個圖形。

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    1. 這問題不是一天兩天就能解出來,我也在思考中,依照老師的題意,如要排成正方形,那可排成 2x2, 4x4, 6x6, 8x8, 10x10, ...,不過我不認為這個數列有規律性,能夠利用它找答案。另外,把它分割成幾個小方塊組成,但是仍漏掉許多不規則的組合。

      我想這問題的通解 N(m, n, I, J, L, O, S, T, Z) 非常難解, m,n 為拼滿矩形面積的邊數,IJLOSTZ為使用拼塊的數量,有待大家一同努力破解。

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  3. 例如這個圖形
    XXXX
    XXXX
    XXXX
    XXXX
    可以由ILOJ組成
    也可以由ILZJ組成
    還可以由JJSS組成等等
    但並不是隨便取4個圖形都可以拼出來的,
    比如JJLO就不可
    其實我的意思是,是否存在這樣一個圖形,
    在全部的塊中任意取,都能保證有一種拼圖方法可以拼出這樣的圖形

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    1. 依據拼圖的經驗以及問題解析,並不存在某幾何圖形可以任取圖塊拼接,例如全部選取 S 型或 Z 型,這是無法拼出正方形,也就是說,每一種圖塊有它的外型特徵,是無法任意混用取代。

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