2016年7月23日 星期六

訓練數學感 108 ─ 碰碰棋

http://4rdp.blogspot.com/2016/07/blog-post_23.html

圖片來自 FB
這款桌遊是在 International Mathematical Olympiad 2016 官網看到的,我不知道它的正式名稱,就先暫時稱為碰碰棋,遊戲規則蠻簡單,在 5x5 棋盤有五顆棋子任意散佈,每顆棋子可以橫走或直走,直到該棋子遇到邊界或是其它棋子就停下來,現在就如圖所示,看如何移動棋子讓紅棋停在棋盤正中間。


官方的進階玩法還限制不能去碰邊界,如果這樣,請問你會怎樣走?

我蠻喜歡這類規則簡單,卻有千變萬化棋局的遊戲,有興趣的朋友看能不能解出這題。

21 則留言:

  1. 回覆
    1. 棋子每次只能一次往前後左右固定方向前進,例如紅棋向下,就是走兩格遇到藍棋才停下來。
      自己可以畫棋格,然後用厚紙板彩繪做棋子。

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    2. 橘色往左到底,黃色往上碰到橘色,橘色往右到底,綠色往右到底,橘色往下碰到綠色,黃色往右碰到橘色,
      紅色往下碰到藍色,紅色往右碰到黃色就剛好在中間。
      我很喜歡玩一款遊戲叫做薩爾達傳說,裡面有些關卡要解謎要推地上的冰塊推到某個指定的地方,
      玩起來跟這遊戲的玩法一樣。通常就是試誤法一直試,哈。

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    3. 一般玩法過關。

      薩爾達傳說,這款遊戲我沒玩過,當時年紀正好畢業開始工作,加上家裡也沒有任天堂之類遊戲機。
      PC 有款推箱子的倉庫世家或倉庫工人遊戲,也是推箱子到定點才過關,不過箱子後方要留有空間讓工人能夠出力,難度比這碰碰棋再高一些。

      進階題,請問這五個棋子有多少種排列方法?因為棋盤有四邊,如果旋轉後,有相同布局位置要扣除,每個棋子視為不同的物件。

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  2. 有25P5種排列方式,但因為有4個方向視為相同,所以答案是(25P/5)/4對嗎?
    還有一款益智遊戲app叫Cryptica的也是類似玩法。

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    1. 謝謝提供 Cryptica,這個遊戲難度更高,https://www.youtube.com/watch?v=x57EwUEXZrA

      關於棋子排列,並不等於 (25P5)/4,先簡化問題為 2 X 2,結果共有三種排列,
      AB  BA  AO
      OO  OO  OB
      這就不等於 (4P2)/4

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    2. 我算錯了嗎?
      (4P2)/4=4!/(4-2)!/4=3

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    3. 抱歉是我算錯了,N x N 格的棋子排列方式確實有 P(N*N,N)/4 種方法,N >= 2
      但是組合方法,並非 P(N*N,N)/4/N!

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    4. 發現了可以當棋盤的解析式!
      https://www.desmos.com/calculator/kxrj16kjyv

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    5. 哇!好厲害!竟然能找到一個棋盤數學式,我覺得 c = 1.8 左右 OK,你打算用它弄四子一連線嗎?

      另外,你昨晚的留言刪除掉蠻可惜,你的觀察是正確的,偶數行及奇數行的組合數量公式是有差異,我只確認 n = 2 及 3 結果是對的,其餘還要好好想想。無論這些式子是否為你自己想出來的,都不簡單。

      tora 能提供你的電郵嗎?我想寄給你赤子西瓜的奇偶公式,你可以幫忙看看是否正確,謝謝。

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    6. 我的email是lecirquetora@gmail.com,謝謝站長看得起,但我不確定我有能力可以判斷式子正確與否,哈哈。
      我盡力試試。

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    7. n=4以上就會有意外
      OOOO OAOO OOAO AOOA
      OAAO OOOA AOOO OOOO
      OAAO AOOO OOOA OOOO
      OOOO OOAO OAOO AOOA
      這些不管怎麼轉只有一種型態。
      n=5的時候
      OOOOO OOOOO AOOOA
      OOAOO OAOAO OOOOO
      OAAAO OOAOO OOAOO
      OOAOO OAOAO OOOOO
      OOOOO OOOOO AOOOA ....(待探索
      也是只有一種型態。
      目前只有推出n=4的時候 f(n)=[C(4^2,4)-4*1-12*2]/4+4+12(待確認)

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    8. tora 邏輯清楚,數學底子強,幫忙確認數式綽綽有餘,這題的組合計算難度頗高,因為還涉及旋轉問題,這也是自己出完進階題後,發現掉入了難題泥沼,大家就研究看看。

      謝謝西瓜前期研究,我們應該要找出四個方向旋轉都一樣的有那些,又那些是180度旋轉是一樣的,其它就是90度旋轉都不一樣。

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    9. 經整理,發現型態數量是4的正因數1, 2, 4
      因此C(n^2,n)可以整理成一多項式
      C(n^2,n)=4a+2b+c
      不管奇偶都符合這個公式,
      n=2的時候,a=1,b=1,c=0
      n=3的時候,a=20,b=2,c=0
      而a+b+c就是我們要求的答案。

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    10. 正確,真厲害能找出這通式,解 a+b+c 就容易多了,看來可以組隊找數列了,如果真有的話,你絕對可以列名第一順位。

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  3. 一般玩法:紅色右,藍色上,紅色左,紅色下

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  4. 進階玩法:藍上,黃右,黃上,藍右,紅下,紅右,紅下

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