2017年11月20日 星期一

訓練數學感 154 ─ 到達北極有多遠

http://4rdp.blogspot.com/2017/11/154.html

Rhumb line - 圖來自維基百科
假若地球是一個理想圓球體都是海洋無任何陸地障礙物，搭船從赤道循 45 度固定航角北上，請問到達北極需要航行多遠？假設地球半徑 6371 km

恆向線航行是自己發想的題目，在航行上無實用價值，只是有趣而已，這題應該要用微積分求解。

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5 則留言:

  1. .2017年11月22日 晚上10:54

    所以圖中的β都是45度嗎?
    這讓我想到了新流行的弧線剪刀。
    http://24h.pchome.com.tw/prod/DEAH6R-A9005XATJ

    段考完有空來想想看。

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  2. .2017年11月23日 晚上7:49

    利用空檔算了一下。
    使用球座標系(ρ,θ,φ)。地球為ρ<=6371km的球。下方先討論單位球的情況，再進行縮放。
    設從(ρ,0,π/2)出發，航角45°，令航線為
    \vec{r}\left ( \rho,\theta,\phi \right )
    則微小線元素
    d\vec{r}\left ( \rho,\theta,\phi \right )=\left ( 0,\rho \sin\phi d\theta ,d\phi \right )
    又∵航角45°∴\rho \sin\phi d\theta = d\phi
    則
    d\vec{r}\left ( \rho,\theta,\phi \right )=\left ( 0,d\phi ,d\phi \right )
    用積分對微小線元素求和。
    s=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{0^{2}+\left ( d\phi \right )^{2} +\left(d\phi \right )^{2}} =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{2}d\phi=\left( \sqrt{2}\phi\right )_{0}^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\sqrt{2}\pi}{2}
    因此所求=
    \frac{\sqrt{2}\pi\rho}{2}\approx 28305.607199006951359738177787677(\textup{km})

    大概28305.6公里。

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  3. Bridan2017年11月23日 晚上8:21

    哇，這麼快就解答了，真厲害。謝謝介紹新商品，下次去文具店時注意一下。

    加分題，推導通式，航角從 0 度到 90 度。

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    1. .2017年11月23日 晚上9:45

      航角α的情況
      微小線元素可直接用三角函數推得dr=secαdφ
      再作一次相同的積分，得S=πρsecα/2=πρ/2cosα

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    2. Bridan2017年11月24日 下午5:07

      正解，如果前後文能夠將代數符號統一會比較好，因為我誤以為 α、β 是不一樣的東西。

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