訓練數學感 151 ─ 關於對蹠點問題研究 Antipodes Study Part 2

http://4rdp.blogspot.com/2017/10/151-antipodes-study-part-2.html

前文，網友赤子西瓜自己提問一個對蹠點問題，他已經充分了解如何解析這問題，就嘗試和同學一起研究運動方程式，現在把部分成果展現，並且也加入我的一些網友意見，大家共同創作，有興趣的朋友歡迎加入。

首先看西瓜的研究原文，說明對蹠點問題的解。

為了解決這一題，我將地球切成上下兩半，如上圖，C、D為兩半球的質心。

現在開始計算k。

由於上下兩個半球是軸對稱形體，所以取一半圓形薄膜計算質心即可。在此令密度為ρ。

假設兩函數:

圖形如下(圖形為R=1時的範例)：

將區間[-R,R]縱切分為n個子區間，寬度Δx。假設第i個子區間中心為xi，將對應第i個子區間想像成一個高f(xi)-g(xi)的長方形。

則此長方形的質量mi為

(密度)(高度)(寬度)

mi=ρ[f(xi)-g(xi)]Δx

想像此長方形的質量集中在中心，則mi對x軸的質矩Mx

(質量)(距離)

Mx=ρ[f(xi)-g(xi)]Δx[f(xi)+g(xi)]/2

　 =(1/2)ρ[f(xi)-g(xi)][f(xi)+g(xi)]Δx

取n→∞，積分求總和，然後除以半圓的質量，即可得到質心的y座標。(而質心的x座標為零，顯而易見。)

(y bar為質心縱座標、A為半圓面積。)

因此k=4R/3π。

​再次回到原圖。假設物體m在路徑AB上的動點P。令OP向量為物體的位置向量r(t)、上下兩半球質心指向物體的兩向量d1(t),d2(t)，且兩者大小相等、d1(t),d2(t)與r(t)夾角θ、沿著CP、DP作用的萬有引力Fg1,Fg2。

首先，根據萬有引力定律：

接著觀察下圖。

​將θ經過簡單的內錯角；Fg1、Fg2適當的平移，就可以得到上圖。

此時，就可以計算Fg1：

觀察上上圖之後，發現最右邊的cosθ與|d(t)|，則可以如此代換：

代換後：

將Fg的絕對值去除，需要考慮方向，此時假設一單位向量r^，方向和r(t)相反。

根據牛頓第二運動定律，Fg=mg，這裡g即為r(t)的二階導函數。接著，將m消除，稍加整理。

在此|r(t)|得以去絕對值。因為r^和|r(t)|方向相反，所以結果會是-r(t)。最後，帶入k=4R/3π。

(我去翻了寄件備份，發現我當時竟然忘了這個負號!)

結果即是此微分方程式。

其實，個人比較喜歡以下形式：

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看到這裡我有些傻眼，現在中學生真是厲害，竟然會微分方程，一般這是大二工程數學才學的東西！我所知道，以微分方程列式，通常表示這物體是一個運動中的物體，以力平衡或力矩平衡來列式，所以用力平衡的列式是對的。

微分方程這東西，從我畢業到現在，工作中從未被用過，因為通常可以轉化成高中數學可以解決的數式。不過因為有計算機的關係，有時會以差分方程來處理，然後用程式處理，例如數位濾波器。

我是覺得這題目很適合放在科展比賽，但是卻又超出程度。

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這裡是網友 z423x5c6 的意見：

難以想像西瓜只是一個中學生！於我看來整個計算過程論證正確、嚴謹，最後得出的微分方程為典型的簡諧運動方程式，亦符合預測。

看畢證明，我想到了兩條加分題：

一）若擲球時給予它一個橫向初速，管子的形狀應該變成怎樣，才能令球保持運動？

二）同上，斜向初速。

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這裡是網友行天下的意見：

1. 不好意思，看到赤子西瓜的表示與演算，我想，就把這問題推廣到更深層的物理與數學。

基本上，球體內的受力，重力場的演算，在國高中是被忽略的。畢竟數學工具及想像欠缺，只好略而不提。

但可以使用概念方式猜測，可能發生的現象到底是甚麼...  

2. 很基礎的物理與數學，都把問題簡化成為以前可以了解的模式，我想赤子西瓜有做到了。

3. 講重力或球體的引力，物理都把模型簡化成為質點，我想我這幾張紙，應該有把質點拓展成為球體了。

4. 第二頁講的是 Newton's shell therom. 應該這部分都是在課本中被略過的。

5. 簡諧運動牽扯到幾個東西，受力、速度、加速度之間的關係與變化；或者有另一種觀點是位能、動能間的互換。用微分方程表示很快。

6. Bridan 兄，處理電方面，用 LC 震盪最快。 反正學多了，就套用一個自己熟悉的物理模型，一通百通。 

**  PS: 我並不喜歡使用微分方程的表示方法。原因是工作中，絕大部分的同事在學過工數，考完工數之後，都把東西還給老師了。

要跟他們解釋微分方程，還得花一番功夫。不如用最簡單國中數學或者概念來講來得直接、明瞭。

觀念，解析問題，跟演算過程，尋找答案的過程，遇到障礙的過程，先假設，然後試著找出特殊解(球心處)，然後推廣，

但推不下去，最後不得不使用大絕招來處理中空球體的問題....

算是很有意思的過程。  我已經不太記得學生時代對於中空球體內的受力是怎麼來的，應該是直接記憶結果，中空球體內受力為0吧。

另外，這原本的題目，應該是使用動能與位能互換是最快的解決方法。

Newton's Shell Theorem 網路有搜尋到:

http://www.animations.physics.unsw.edu.au/jw/NewtonShell.pdf

應該跟我演算的內容一樣吧 (或大同小異)

關於 SHM模型在此題中是如何推導出來的?

我簡述一下，就不做推導

Case 3 中，有把 Ftotal 寫下。其中地球內部小球質量 Mm  可以直接用 M , r , rm 三者做變換，最終推導出最後一頁右上的那兩圖。

縱軸 F，橫軸 r, 當 r =0 到 地表，這三角形面積正好是位能所作的功。 g 隨 r 線性變化。

這裡的 g 就套到彈簧振子中F=-kx，彈簧振子的加速度 = -kx/m = -(k/m)*x。大概就可以推導出來了。

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然後是西瓜自己的總結：

謝謝行天下的說明。我懷疑自己算錯了。我上面推導的微分方程，似乎不是SHM的模型。SHM的微分方程應是如此(截自維基百科)：

上面以微分方程的分類來說，是「二階一次常係數齊次線性常微分方程式」，解出來，x=Acos(ωt-φ),A,ω,φ為其他常數。

而我上面推導出來的微分方程：

化簡後應該是「二階二次變係數齊次非線性常微分方程式」。

我將SHM的通解(Acos(...))代入，但是在左邊的根號運算上碰到了瓶頸。

接著，我試著假設r(t)恆為正，化簡之後，利用分離係數法解此方程，遇到複雜的積分丟給SageMath計算，得到的結果不堪設想，是一個冗長的函數，

而且要得到r(t)，要再取一次反函數(比如ln|f(x)|=μt+C ，變成f(x)=exp(μt+C))，結果不堪設想，更何況是討論r(t)為負、為零的情況了。

看到您推導Newton's Shell Theorem，我在研究此題的時候有翻到維基頁面，

(https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AE%BC%E5%B1%A4%E5%AE%9A%E7%90%86)

不過當時忽略了。我只有看了幾遍頁面上的積分動畫、瀏覽數式，覺得好玩，就關掉了。

我想，錯誤可能出在：牛頓的萬有引力只能用在質點，頂多用Shell Theorem推廣到球體(球心)，如果用其他形狀，不能直接利用質心來計算距離，不然是無效的。

我也想請問一下，SHM模型在此題中是如何推導出來的?

還有，看到行天下提到，不禁想起，自己第一次學到SHM，就是在LC電路!(哈，竟然不是從彈簧開始。)

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最後，謝謝各位朋友專業的討論，這篇文章的深度是本部落格有史以來最難的一篇，有興趣的人好好品味，另外，已經有方程式了，再來就是求解微分方程，這又是另一個挑戰。