2017年9月15日 星期五

訓練數學感 147 ─ 平均數

http://4rdp.blogspot.com/2017/09/147.html

一個自然數的等差級數和 1+2+3+ ... + N，從這數列去除一個數後，其平均數為 15.25，請問 N 多少？被去除的數多少？



若 S = 1+2+3+ ... + X + ... + N，則 (S - X) / (N - 1) = 15.25，題目是小朋友學校的課外考題，感覺沒有特別驚人之處，只是讓大家腦筋動一動。

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11 則留言:

  1. 匿名2017年9月15日 下午3:55

    N=29, X=8, 但自知方法不好, 先用平均值15.25來找出N的範圍落在27~33 再一個一個代入, 花了蠻多時間, 想知道更好的方法

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  2. 匿名2017年9月15日 下午4:03

    更正 用去頭去尾法各別算出平均值(以代數表示) 15.25前後做夾集 找出N=29 或30 再各別帶入計算一次而求得

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  3. .2017年9月15日 晚上7:48

    [(1+N)N/2 -X]/(N-1)=15.25
    (1+N)N/2 -X=15.25(N-1)
    (1+N)2N-4X=61(N-1)
    2N^2+2N-4X=61N-61
    2N^2-59N+61=4X
    左式必須是四的倍數。經討論，得N必為奇數。以N=2n+1代入,n為正整數
    2(2n+1)^2-59(2n+1)+61=4X
    8n^2+8n+2-118n-59+61=4X
    8n^2-110n+4=4x
    因為是4的倍數，得知n必為偶數，另n=2a，a為正整數。

    N=4a+1
    X=8a^2-55a+1 (上式可得)
    由題知1a<55/8 得a=7
    代入，可知N=29, X=8。

    傳統的丟番圖分析!想必學校可能有更快的解法，不過這樣咀嚼，也別有風味。

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    1. .2017年9月15日 晚上7:51

      倒數第四行後，有一些文字跑掉了。
      "由題知1<X<=N，
      1<8a^2-55a+1<=4a+1
      解之，得59/8<=a<55/8 得a=7"

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  4. Bridan2017年9月15日 晚上8:30

    謝謝西瓜的詳解，過程清楚條列不簡單，學校的方法我不清楚，但我是求 2N^2-59N+(61-4X) = 0，代公式找整數解。

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  5. flyingdusts2017年9月17日 上午10:46

    我提一個數列的思路：
    已知 A = (S - X) / (N - 1) = 15.25，
    那麽找出 當A出現.25時, N 與 X 的關係即可。
    列舉前幾項如下，
    X=2,N=5,A=3.25
    X=3,N=9,A=5.25
    X=4,N=13,A=7.25
    X=5,N=17,A=9.25
    ......
    以上可推出，
    A=15.25時，X=8,N=29
    規律如下，
    X為由2開始，以1為公差的等差數列；
    A為以3.25開始，以2為公差的等差數列；
    N = 4X - 3
    A的整數部分AI = 2X - 1
    故，已知A = 15.25， 求N和X，代入上式
    15 = 2X -1
    求得X = 8,
    N = 4 * 8 -3 = 29
    解畢
    -------------------
    這個方法的好處是不怕數字再大，都可以迅速解出。
    例如，已知A = 99.25，求 X 和 N

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    1. Bridan2017年9月17日 晚上10:22

      老師太厲害了，找出通解式子。老師的考題就留給網友們解答。

      加分題，求 A 小數為 .333... 的通解。

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    2. flyingdusts2017年9月18日 下午6:23

      這個加分題比較刁鑽，部分情況有兩個解。
      不過第二個解的出現也是有規律的。
      我也不細說了，留給網友們試試吧。

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    3. Bridan2017年9月18日 晚上9:06

      嗯，二次式會有兩個解這並不奇怪，給有興趣的朋友繼續研究。

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    4. flyingdusts2017年9月19日 下午3:02

      但之前.25只能找出一個解。為什麼呢？

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    5. Bridan2017年9月19日 晚上8:01

      二次式可能有負數解，那就只有一個解，看來 .25 可能有另外的通解，只是我們沒有認真找。

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