請問 1 x 3 x 5 x ..... x 2001 + 2 x 4 x 6 x ..... x 2002 是否為 2003 的倍數?
【騎沈四傑搞不懂】再次評論懬垕論
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前面我已經有多篇文章評論懬垕論: 🐠「懬垕論」體現了維基倉教的水準 評論「懬垕結構不清不楚」
因為發現這也是一樁騎沈四傑「分不清碼表製作者與規則製定者」的事件,因此再次對其進行評論。 起初
五代補完計劃作者jackchows因為不想捲入「蠢螽凳」的字首劃分問題,因此他為這些字都編了兩種碼。 後來
後來騎沈...
2 天前
題目有些意思。
回覆刪除如果中間是乘號的話只需要證明2003是否質數即可。
但是是加號……初步思路是假設左邊是2003的倍數,那麽給左邊乘一個比2003小的數,也會是2003的倍數。
如果得到正確結論,那麽證明是倍數,如果得到錯誤結論,那麽就不是。
這題好難。恕我暫時無法用任何國一的思維去證明這題(笑)。
刪除但是,以下是我想到的觀察法:
3│1+2
7│1*3*5+2*4*6
11│1*3*5*7*9+2*4*6*8*10
.....
2003│1*3*5*.....*2001 + 2*4*6*.....*2002
這題應該要證明出:
2(2k-1)+1│1*3*5*...*[2(2k-1)-1]+2*4*6*...*[2(2k-1)]
k\in \mathbb{N}
請問這題是是非題、選擇題還是非選題?
刪除如果是非選題,我可能會錯在這裡。
雙階乘
刪除(2n-1)!! = 1 x 3 x 5 x ... x (2n-1) , n >= 1
(2n)!! = 2 x 4 x 6 x ... x (2n)
這題,意外發現一個有趣的規則,
(2n-1)!! + (2n)!! = K(2n+1) , n 為奇數,K 為正整數
n = 1, 1 + 2 = 3, 可被 3 整除
n = 3, 1x3x5 + 2x4x6 = 63, 可被 7 整除
n = 5, 1x3x5x7x9 + 2x4x6x8x10 = 4785, 可被 11 整除
不曉得這數學特性已經被發現?如果還沒並且也未被證明的話,就稱它為 Bridan 猜想, ^_^
可能出題老師已經發現了喔.....
刪除哈,在打字的時候,西瓜已經搶先貼文,你我的想法相同,就是從規則中尋找線索,這題證明題確實很難,證明方法思考中,孫老師所提的方法可以想想。
刪除也就是說反證法?
刪除反證法,也是一種證明的方法,不確定這方法可行。
刪除K可以構成一個新的數列吧
刪除這是一個 k = 4n+3 的數列,OEIS 已經收錄它了,請見 https://oeis.org/A004767
刪除我的意思是 K = [(2n-1)!! + (2n)!!] / (2n+1)
刪除這個K我搜了一下, 1, 9, 435……,確實沒有。
恭喜老師找到新數列,您可登記它,最近工作忙碌,沒花太多心思在進階題上,另外數式需要修正,
刪除K = [(4n+1)!! + (4n+2)!!] / (4n+3) , n = 0,1,2,3,...
需要幫你寫程式嗎?這個很明確,現在就可以登記。
好啊好啊,把參與的人都登記上吧。畢竟是解出題目後就呼之欲出的數列呢。
刪除謝謝老師,您就名列第一,z423x5c6第二,西瓜第三,我會上傳程式列最後
刪除只要用modulo arithmetic就能證明了
回覆刪除2x4x...x2002 有1001個項
所以under mod 2003
1x3x...x2001+2x4x...x2002
=1x3x...x2001+(-2001)x(-1999)x...x(-1)
=1x3x...x2001+1x3x...x2001x(-1)^1001
=1x3x...x2001-1x3x...x2001
=0
故整除
你們發現的規律是正確的
作者已經移除這則留言。
回覆刪除謝謝網友 z423x5c6 提供解答,https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_arithmetic,確實載明特性,我想這應是大學數學系才會教的東西。
回覆刪除另外從 -1 看到,只有奇數才能使模數對銷為零。
袁佑緣也同時以貼文,方法相近,謝謝你們。
不謝啦~
刪除我在想有沒有國一的方法能解決這題……
真是高明的方法。我還真的沒想到。原來可以用餘數來解決問題......
刪除是啊,今早起床後看到解法心情大好,下班回家想起以前一篇舊文 http://4rdp.blogspot.tw/2014/07/chinese-remainder-theorem.html,這部分特性還得好好複習再融會貫通。
刪除補充,小朋友說這題是學校的高一資優考題。
刪除國中出現高一資優考題?
回覆刪除不是,他的學校是完全中學,有時他喜歡看高中生的考題,蠻奇怪的小朋友,不愛看故事書但對難題喜歡研究。
刪除高一有方法證明此題嗎?
回覆刪除這屬於數論領域,我聽海山高中的老師說,目前高中並沒有教授,因此高一應該解不出這題。
刪除其實同餘(mod)在高中的數學競賽屬於高一範圍(數論)。雖課內不教,但以前舊課綱有,國內各數學比賽還是會考,國外則是都有教所以一定會考。
刪除謝謝說明,原來現在已經不教 mod,留給有興趣的人自己去學。
刪除想到一個高一可能的證明方式,就是將原題改寫成:
刪除(2003 - 2002) * (2003 - 2000) * ... * (2003 - 4) * (2003 - 2)
+ 2002 * 2000 * ... * 2
K=[(4n+1)!!+(4n+2)!!]/(4n+3) K與n為正整數
回覆刪除其實如果可以用模算術證明所有自然數n都可以成立後,這就可以成為一個定理了(如果還沒有人發現和證明的話)。
還有,奇數可以用2n+1和2n-1表示(n為正整數),那什麼時候要挑哪一種表示方法比較適當?
是啊,能夠證明 K=[(4n+1)!!+(4n+2)!!]/(4n+3) n=0,1,2,3,... 可成一定理
回覆刪除對了,正整數是不含 0,數論的自然數也不包含 0,詳見 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
關於奇數用 2n+1 還是 2n-1,個人看法為端看 n 從 0 或是 1 開始,0 開始就用 2n+1
啊,的確出了點小差錯,n應該是非負整數
回覆刪除還有,可以幫這個定理命名,比如Bridan定理之類的(笑)
回覆刪除已經上線登記,https://oeis.org/draft/A273889,大家看過後沒問題再正式提出申請
刪除還有公式修正為 K=[(4n-3)!!+(4n-2)!!]/(4n-1) n=1,2,3,...
它也可以稱為西瓜定理(哈)
尋找網友 z423x5c6,因為你的幫忙證明 2003 倍數,而發現一個新的數列,近日將於 OEIS 登記,如果你有意留名,請先 OEIS 登記註冊,謝謝。
刪除請問crossrefs出現A103639的用意為何?
回覆刪除A103639 是 (4n-3)!! 的數列
刪除似乎將原題改寫成
回覆刪除(2003 - 2002) * (2003 - 2000) * ... * (2003 - 4) * (2003 - 2)
+ 2002 * 2000 * ... * 2
就一目了然了。
嗯,上下互補,不過還得懂 modulo arithmetic,才有辦法將這題完整證明。
刪除