2014年12月3日 星期三

訓練數學感 45 ─ 落地要多久?

http://4rdp.blogspot.com/2014/12/45.html

圖片來源 科學大冒險
在離地二十公尺高的天橋上,讓一顆一公斤重石頭以自由落體的方式落下,假設不受空氣阻力影響,重力加速度為 10 m/sec^2,請問從手放掉到石頭落地,需多久時間?四捨五入計算至小數第一位。


這題目的靈感來自網友薛老師的考題。

7 則留言:

  1. 其實我是開車時經過新埔的遠東紡織廠,看到天橋,突然的靈感。 哈哈!

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  2. 正解。

    加分題,雖然圖上有公式提示,但是考考直覺,依據物體等加速運動,已知加速度 10 m/sec^2,初速為零,一秒鐘後為 10 m/sec,第二秒速度為 20 m/sec,那兩秒鐘時間,如果無障礙情形,石頭應該落下 10 + 20 = 30 m 。請問這樣推理哪裡錯誤?

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  3. v=gt,為等加速度運動,v-t呈現線性關係,然位置與時間(X-t)卻非線性關係,而是呈現拋物線的曲線。
    若就一秒鐘後為 10 m/sec,第二秒速度為 20 m/sec,推理這段時間(0~2s)的位置共走30m並不合理,因為0~1秒並非恆為10m/s,且1~2s的速度亦非恆為20m/s,而是在時間變化的過程中,速度不斷增加,所以不能以這樣的觀念去解釋。

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    1. 謝謝老師專業的說明,
      進階題,不要用微積分,以小學生的方法,能否推導出 y = 0.5*g*t^2,的結論?

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  4. 若能貼圖用圖解,直接看圖就可以。
    用文字說明的話,我就概略說吧。
    V=gt,所以可以在V-t平面座標第一象限,畫一條通過零點的斜直線。
    位移=速度x時間
    所以v-t圍起來的面積,就是移動的位移。
    假設初速度為V1,經過t時間後的末速度為V2
    v-t圍起來的面積,恰為一梯形。
    上底=初速度V1,下底=末速度V2
    高=所經過的時間t
    所以面積=位移=(上底+下底)*高/2
    =(V1+V2)*t/2
    又末速度V2=初速度V1+加速度a*時間t
    所以位移=[V1+(V1+a*t)]*t/2
    =(2V1+at)*t/2
    =V1*t+(1/2)*at*t

    因自由落體V1=0且加速度a=重力加速度g
    所以原式可改寫為位移=(1/2)*gt*t


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    1. 謝謝老師詳細說明,我簡單總結,
      這自由落體問題可以轉化成三角形求面積問題,時間 t 當作三角形的底,初速為零,末速 = gt 把它當作三角形的高,而面積就是物體運動的距離總和 y = 0.5*gt*t。如果物體初速不為零時,就變成計算梯形面積問題。
      而這個加速度 g 相當於三角函數的 tan

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