2019年5月22日 星期三

訓練數學感 214 ─ 最短長度

http://4rdp.blogspot.com/2019/05/214.html

如圖，三角形邊長分別為 4, 7, 10，三角形中有一點與三頂角相連，試求這三紅色線段最短總長？



這題是 Andy 設計的，從作業中獲得靈感的。

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3 則留言:

  1. 赤子西瓜2019年6月1日 下午5:12

    一開始腦中浮現Fermat point,後來發現好像哪裡怪怪的。
    計算角度那個角的cos值，(4²+7²-10²)/2x4x7=-5/8<-1/2=cos2π/3,大於120度，才知道這傢伙好像不是我們常見的費馬點。
    偷看了維基https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B2%BB%E9%A6%AC%E9%BB%9E的證明，才知道頂點本身就是費馬點，答案是11。不過，有憂有喜，憂是我失去了一次研究機會，喜則是我省下了好幾天打轉的時間，哈哈!

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    1. Bridan2019年6月1日 下午5:42

      正解，西瓜博覽群書立刻就想到費馬點，真厲害，Andy 還在苦思這問題。

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    2. Bridan2019年6月10日 晚上9:59

      補充 Andy 簡單證明費馬點 P，均分角度 120 度，請看圖 https://www.geogebra.org/classic/gdxbwfcv
      以 A 為圓心，過 P 點得一切線，當 BP,CP 為最短時，必與切線 入射角 = 反射角，
      同理 B,C 兩點亦是如此，故費馬點 P，均分角度 120 度。

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