2019年5月22日 星期三

訓練數學感 214 ─ 最短長度

http://4rdp.blogspot.com/2019/05/214.html

如圖,三角形邊長分別為 4, 7, 10,三角形中有一點與三頂角相連,試求這三紅色線段最短總長?



這題是 Andy 設計的,從作業中獲得靈感的。

3 則留言:

  1. 一開始腦中浮現Fermat point,後來發現好像哪裡怪怪的。
    計算角度那個角的cos值,(4²+7²-10²)/2x4x7=-5/8<-1/2=cos2π/3,大於120度,才知道這傢伙好像不是我們常見的費馬點。
    偷看了維基https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B2%BB%E9%A6%AC%E9%BB%9E的證明,才知道頂點本身就是費馬點,答案是11。不過,有憂有喜,憂是我失去了一次研究機會,喜則是我省下了好幾天打轉的時間,哈哈!

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    1. 正解,西瓜博覽群書立刻就想到費馬點,真厲害,Andy 還在苦思這問題。

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    2. 補充 Andy 簡單證明費馬點 P,均分角度 120 度,請看圖 https://www.geogebra.org/classic/gdxbwfcv
      以 A 為圓心,過 P 點得一切線,當 BP,CP 為最短時,必與切線 入射角 = 反射角,
      同理 B,C 兩點亦是如此,故費馬點 P,均分角度 120 度。

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