2017年2月26日 星期日

訓練數學感 130 ─ 杯子有多少水?

http://4rdp.blogspot.com/2017/02/130.html

一直徑為 d 的杯,放置傾斜 θ 度,內裝高度為 h 的水,請問杯子有多少水?


這是我 228 連假在家洗碗時想到的問題,其實日常生活有著許許多多題材,可以讓你思考。

15 則留言:

  1. 在嚴謹的解題出現之前,在此提供一句愛迪生的思維:

    為什麼不把它倒出來量呢?

    回覆刪除
    回覆
    1. 是啊,解決問題的方法不只一種,用秤的也可以。

      刪除
  2. 分兩种情況:
    1、d·sinθ <= h
    2、d·sinθ > h

    回覆刪除
    回覆
    1. 設有一高度h0,h0 = d·sinθ
      則內有水pi·(d/2)^2·h0/2 = h0·pi·d^2/8

      刪除
    2. 老師已經點出解題關鍵。

      刪除
  3. 我提一個這道題的簡單版:
    一直徑為 d,高為 h 的杯,放置傾斜 θ 度,
    問此杯最多能裝多少水?

    回覆刪除
    回覆
    1. 套用老師的式子,答案呼之欲出。

      刪除
    2. 突然想到,應該假設杯底厚度應忽略不計。

      刪除
    3. 同意,假設杯子厚度為零,降低問題複雜度。

      刪除
  4. d·sinθ > h又應該如何下手?

    回覆刪除
    回覆
    1. 因為杯子是圓柱狀,我會用圓形切塊以及積分的方法,計算杯底的水量

      刪除
  5. 因網站問題,赤子西瓜一直無法正常留言,因此改寄電郵請我代貼,原文如下

    統整一下:
    dsinθ<h時:
    V=(2hsecθ-dsinθ)(d/2)^2π/2
    dsinθ=h時:
    V=hsecθ(d/2)^2π/2
    dsinθ>h時(由多重積分求出):
    V=-2tanθ(d-hcscθ)[-(d-hcscθ)sqrt((d/2)^2-(d-hcscθ)^2)+(d/2)^2arctan(-k/sqrt((d/2)^2-(d-hcscθ)^2))]+tanθ(d-hcscθ)(d^2/8)π

    如果上述答案無誤,那麼此題正式破解。

    回覆刪除
    回覆
    1. 貼文會少一段,是因為算式中有大於小於符號,正好是 HTML 碼,dsinθ<h 及 dsinθ=h 已經看過沒問題,積分解還沒檢查,應列上積分前的式子後再看。

      刪除
    2. dsinθ>h時
      將整個杯子移到直角坐標系(我的習慣是z軸向上),其中杯底圓為xy平面上一圓心在原點,半徑為d/2的圓。
      假設液面是理想平面,可以得知液面和杯底(xy平面)夾θ度;另令液面和xy平面交於直線x=-k(z=0),由上述兩點可以得知液面方程式為x-0=tanθ[z-(-k)](類似斜截式,只不過在y方向可以無線延伸),整理後得到z=(x-tanθk)/tanθ。k則可以直接在平面上用幾何方法解出=hcscθ-d/2。

      所求體積可以再液面方程式下指定一個區域,並利用積分求出。指定區域是一個大於半圓的弓形,為求方便,沿著y軸切成兩部分,左邊(稱之R1)用一般積分,右邊(R2)即可用極座標積分處理:將x=rcosφ代入即可。(在此用φ只是為了和原題的θ分別)

      R1的範圍,是由兩個鉛錘直線(在xy平面上是如此)和兩個圓弧組成。圓弧的方程式是+sqrt((d/2)^2-x^2)和-sqrt((d/2)^2-x^2),鉛錘直線的方程式則是x=-k和x=0。

      R2的範圍,是一個半圓,顯然地,r=d/2,φ介於π/2和-π/2之間。(在此用φ只是為了和原題的θ分別)

      於是,所求體積V:

      2cotθ{(d/2)^2-sqrt[((d/2)^2-k^2)^3]}(ktanθ-1)/3+d^2(2dcotθ-3d^2πk)/24
      其中k=hcscθ-d/2

      本來辛苦打了積分式,不過突然當機,眼看沒有餘力,只好麻煩您用上面的方法列式檢查。
      還有,我把一些上面的錯誤改了。

      刪除
    3. 循著你的思維列式,液面方程式應該為 z-0 = [x-(-k)]*tanθ 或是 z = (x+k)*tanθ,修正後再重新核對。

      刪除