tag:blogger.com,1999:blog-3550204829234352390.post1857335148737193522..comments2024-03-27T09:13:48.546+08:00Comments on 研發養成所 ( Bridan's Blog - 4rdp, For R&D Person ): 訓練數學感 130 ─ 杯子有多少水?Bridanhttp://www.blogger.com/profile/17055047757114667099noreply@blogger.comBlogger17125tag:blogger.com,1999:blog-3550204829234352390.post-34196966917806391742017-09-02T23:16:53.871+08:002017-09-02T23:16:53.871+08:00很高興在網路認識新朋友,歡迎你常來此掏寶。
回歸主題,你的方法以 φ 去除西瓜的 Z 軸,這我喜歡...很高興在網路認識新朋友,歡迎你常來此掏寶。<br /><br />回歸主題,你的方法以 φ 去除西瓜的 Z 軸,這我喜歡,若能利用杯子高度刻度 y 更好,畢竟角度 φ 不易量測,總結,這題以 V = f(y) 或是 V = g(h) 表示,其他讀者比較容易懂。謝謝你的另類推導。Bridanhttps://www.blogger.com/profile/17055047757114667099noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-3550204829234352390.post-1661513015126735492017-09-02T20:28:38.389+08:002017-09-02T20:28:38.389+08:00以杯底為x軸,杯高為y軸
設杯子有高度刻度,水面的最高刻度 y = hsecθ
設 R = D/2 ...以杯底為x軸,杯高為y軸<br />設杯子有高度刻度,水面的最高刻度 y = hsecθ<br />設 R = D/2 以方便閱讀<br /><br />分成兩種情況:<br />一、 y <= Dtanθ<br />二、 y > Dtanθ<br /><br />情況二,水的體積可視為一個圓柱體與一個斜截體的和:<br />a、圓柱體積 = (水面最低刻度)*πR^2<br />b、斜截體積,即情況一中 y = Dtanθ時的體積<br /><br />情況一,計算概念為底面積A延著y方向積分,V = ∫Ady<br /><br />底面積基本上就是弓形,設缺口的半張角φ (0<=φ<=π)<br />A = πR^2*(1-φ/π)+Rcosφ*Rsinφ = R^2(π-φ+cosφsinφ)<br /><br />接著來推導dy,弓形的對分中線 = R(1+cosφ)<br />所以 y = R(1+cosφ)tanθ,微分得 dy = -Rtanθsinφdφ<br /><br />V = ∫Ady = ∫[R^2(π-φ+cosφsinφ)]*(-Rtanθsinφdφ)<br /> = R^3tanθ∫sinφ(φ-cosφsinφ-π)dφ<br /> = R^3tanθ{[-(sinφ)^3/3+sinφ+(π-φ)cosφ]+C}<br /><br />最後從所有已知計算φ值就能得知體積V了<br /><br />從工程的角度出發,把量杯擺正就知道體積啦,然後才想出以上算式<br /><br />第一次看完問題後發言,請多指教,認真的喜歡這樣的BlogAnonymoushttps://www.blogger.com/profile/10324566146744780570noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-3550204829234352390.post-57960715132132239532017-03-03T22:55:12.431+08:002017-03-03T22:55:12.431+08:00循著你的思維列式,液面方程式應該為 z-0 = [x-(-k)]*tanθ 或是 z = (x+k)...循著你的思維列式,液面方程式應該為 z-0 = [x-(-k)]*tanθ 或是 z = (x+k)*tanθ,修正後再重新核對。Bridanhttps://www.blogger.com/profile/17055047757114667099noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-3550204829234352390.post-82467820643307699662017-03-02T23:51:03.545+08:002017-03-02T23:51:03.545+08:00dsinθ>h時
將整個杯子移到直角坐標系(我的習慣是z軸向上),其中杯底圓為xy平面上一圓心在原點...dsinθ>h時<br />將整個杯子移到直角坐標系(我的習慣是z軸向上),其中杯底圓為xy平面上一圓心在原點,半徑為d/2的圓。<br />假設液面是理想平面,可以得知液面和杯底(xy平面)夾θ度;另令液面和xy平面交於直線x=-k(z=0),由上述兩點可以得知液面方程式為x-0=tanθ[z-(-k)](類似斜截式,只不過在y方向可以無線延伸),整理後得到z=(x-tanθk)/tanθ。k則可以直接在平面上用幾何方法解出=hcscθ-d/2。<br /><br />所求體積可以再液面方程式下指定一個區域,並利用積分求出。指定區域是一個大於半圓的弓形,為求方便,沿著y軸切成兩部分,左邊(稱之R1)用一般積分,右邊(R2)即可用極座標積分處理:將x=rcosφ代入即可。(在此用φ只是為了和原題的θ分別)<br /><br />R1的範圍,是由兩個鉛錘直線(在xy平面上是如此)和兩個圓弧組成。圓弧的方程式是+sqrt((d/2)^2-x^2)和-sqrt((d/2)^2-x^2),鉛錘直線的方程式則是x=-k和x=0。<br /><br />R2的範圍,是一個半圓,顯然地,r=d/2,φ介於π/2和-π/2之間。(在此用φ只是為了和原題的θ分別)<br /><br />於是,所求體積V:<br /><br />2cotθ{(d/2)^2-sqrt[((d/2)^2-k^2)^3]}(ktanθ-1)/3+d^2(2dcotθ-3d^2πk)/24<br />其中k=hcscθ-d/2<br /><br />本來辛苦打了積分式,不過突然當機,眼看沒有餘力,只好麻煩您用上面的方法列式檢查。<br />還有,我把一些上面的錯誤改了。.https://www.blogger.com/profile/16677804023065232981noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-3550204829234352390.post-39773398561522888632017-03-01T22:34:28.468+08:002017-03-01T22:34:28.468+08:00貼文會少一段,是因為算式中有大於小於符號,正好是 HTML 碼,dsinθ<h 及 dsinθ=h ...貼文會少一段,是因為算式中有大於小於符號,正好是 HTML 碼,dsinθ<h 及 dsinθ=h 已經看過沒問題,積分解還沒檢查,應列上積分前的式子後再看。Bridanhttps://www.blogger.com/profile/17055047757114667099noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-3550204829234352390.post-4671898130629659162017-03-01T22:32:46.452+08:002017-03-01T22:32:46.452+08:00因網站問題,赤子西瓜一直無法正常留言,因此改寄電郵請我代貼,原文如下
統整一下:
dsinθ<h時...因網站問題,赤子西瓜一直無法正常留言,因此改寄電郵請我代貼,原文如下<br /><br />統整一下:<br />dsinθ<h時:<br />V=(2hsecθ-dsinθ)(d/2)^2π/2<br />dsinθ=h時:<br />V=hsecθ(d/2)^2π/2<br />dsinθ>h時(由多重積分求出):<br />V=-2tanθ(d-hcscθ)[-(d-hcscθ)sqrt((d/2)^2-(d-hcscθ)^2)+(d/2)^2arctan(-k/sqrt((d/2)^2-(d-hcscθ)^2))]+tanθ(d-hcscθ)(d^2/8)π<br /><br />如果上述答案無誤,那麼此題正式破解。Bridanhttps://www.blogger.com/profile/17055047757114667099noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-3550204829234352390.post-7363476754295238962017-02-28T22:17:59.042+08:002017-02-28T22:17:59.042+08:00因為杯子是圓柱狀,我會用圓形切塊以及積分的方法,計算杯底的水量因為杯子是圓柱狀,我會用圓形切塊以及積分的方法,計算杯底的水量Bridanhttps://www.blogger.com/profile/17055047757114667099noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-3550204829234352390.post-58956928940513496152017-02-28T22:06:01.627+08:002017-02-28T22:06:01.627+08:00同意,假設杯子厚度為零,降低問題複雜度。同意,假設杯子厚度為零,降低問題複雜度。Bridanhttps://www.blogger.com/profile/17055047757114667099noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-3550204829234352390.post-49046538112511949502017-02-28T19:00:52.458+08:002017-02-28T19:00:52.458+08:00d·sinθ > h又應該如何下手?d·sinθ > h又應該如何下手?.https://www.blogger.com/profile/16677804023065232981noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-3550204829234352390.post-43271923750055524982017-02-28T17:56:54.454+08:002017-02-28T17:56:54.454+08:00突然想到,應該假設杯底厚度應忽略不計。突然想到,應該假設杯底厚度應忽略不計。flyingdustshttps://www.blogger.com/profile/10543166743971149568noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-3550204829234352390.post-64300978381070147132017-02-27T20:46:35.280+08:002017-02-27T20:46:35.280+08:00套用老師的式子,答案呼之欲出。套用老師的式子,答案呼之欲出。Bridanhttps://www.blogger.com/profile/17055047757114667099noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-3550204829234352390.post-48375660277858283522017-02-27T20:37:39.131+08:002017-02-27T20:37:39.131+08:00老師已經點出解題關鍵。老師已經點出解題關鍵。Bridanhttps://www.blogger.com/profile/17055047757114667099noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-3550204829234352390.post-54584156631871463512017-02-27T20:35:18.070+08:002017-02-27T20:35:18.070+08:00是啊,解決問題的方法不只一種,用秤的也可以。是啊,解決問題的方法不只一種,用秤的也可以。Bridanhttps://www.blogger.com/profile/17055047757114667099noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-3550204829234352390.post-53210595696595199572017-02-27T18:41:59.402+08:002017-02-27T18:41:59.402+08:00我提一個這道題的簡單版:
一直徑為 d,高為 h 的杯,放置傾斜 θ 度,
問此杯最多能裝多少水?我提一個這道題的簡單版:<br />一直徑為 d,高為 h 的杯,放置傾斜 θ 度,<br />問此杯最多能裝多少水?flyingdustshttps://www.blogger.com/profile/10543166743971149568noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-3550204829234352390.post-84999529759352182462017-02-27T18:21:34.083+08:002017-02-27T18:21:34.083+08:00設有一高度h0,h0 = d·sinθ
則內有水pi·(d/2)^2·h0/2 = h0·pi·d^...設有一高度h0,h0 = d·sinθ<br />則內有水pi·(d/2)^2·h0/2 = h0·pi·d^2/8<br />flyingdustshttps://www.blogger.com/profile/10543166743971149568noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-3550204829234352390.post-28507384877461852072017-02-27T11:53:40.664+08:002017-02-27T11:53:40.664+08:00分兩种情況:
1、d·sinθ <= h
2、d·sinθ > h分兩种情況:<br />1、d·sinθ <= h<br />2、d·sinθ > hflyingdustshttps://www.blogger.com/profile/10543166743971149568noreply@blogger.comtag:blogger.com,1999:blog-3550204829234352390.post-67033705716823297602017-02-27T07:04:28.224+08:002017-02-27T07:04:28.224+08:00在嚴謹的解題出現之前,在此提供一句愛迪生的思維:
為什麼不把它倒出來量呢?在嚴謹的解題出現之前,在此提供一句愛迪生的思維:<br /><br />為什麼不把它倒出來量呢?.https://www.blogger.com/profile/16677804023065232981noreply@blogger.com