方形面積差定理 (Square area difference theorem)

http://4rdp.blogspot.com/2014/01/square-area-difference-theorem.html

有一數學作業題，知道長方形長 160 cm，寬 60 cm，另一正方形的周長跟這長方形周長是一樣的，試求兩者面積差？

小朋友寫功課時，發現它有一個速解，

正方形邊長 = (160 + 60) / 2 = 110 cm
兩者面積差 = (110 - 60)² = 2500 cm²

為了確定他沒亂寫，仔細推算確實是正確的，
(110 - 60)²
= 110² - 110 x 60 - 110 x 60 + 60²
= 110² - 110 x 60 - (110 - 60) x 60
= 110² - 160 x 60

從他的發現，讓我聯想到上圖紅色區域的面積，正好是正方形及矩形面積的差，通解推導：

a = c + d
正方形面積 = a²
長方形面積 = c (a + b)

當 d = b
兩面積差 = a² - c (a + b) = a² - ca - cb = da - cb = d (a - c) = d²

這個速算法使用的限制：必須正方形和長方形的周長相等。

我稱這個算法為方形面積差定理，發現者 Andy Wang (汪翔安)，以茲鼓勵他努力多發現一些數學定理。

其實這題也證明了 a² - d² = (a + d)(a - d)