2014年1月8日 星期三

思考的樂趣

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思考的樂趣 ─ 頂尖數學家和你想的不一樣嶄新思維的數學世界,ISBN 9789862576762,上奇時代出版,顧森 著,張立偉審閱。

本書的作者,是一位北京大學應用中文系畢業生!他從學生時代就開始寫數學的部落格 http://www.matrix67.com/blog/,很多文章是參閱國外期刊記錄心得,長年累積下來,他的數學造詣已經超越許多數學系的學生,說真的,有很多數學題材,我也是第一次從這本書看到。

小朋友戲稱本書為「酥烤的熱腿」,作者知道應該會痛扁他一頓吧。會發現這本書蠻巧合的,一日我與小朋友去台北誠品,他發現這本書的背頁有一題大陸小學奧數考題,ABCD 是正方形,DEFG 是長方形,求 DE 的長度?

書皮寫道台大畢業生五分鐘後放棄,碩士生十分鐘後用了一整張計算紙算出答案,但是聰明的小學生腦袋一轉,十秒就有答案。這段話吸引了他的目光。

這題有兩種簡單的解法,
我和小朋友站在一起解題,我以兩分鐘左右時間想出中學生的解法,而他以直覺(小學生解法)約五分鐘也解出正確解答,可惜推想過程不夠精確有些錯誤。我想應該有厲害的讀者可以更快想出解題技巧,大家試看看。

書中內容包含:
第一部分 生活中的數學
1. 機率論教你說謊
2. 找東西背後的機率問題
3. 設計調查問卷的藝術
4. 統計資料的陷阱
5. 為什麼人們往往不願意承擔風險?
6. 消費者承擔消費稅真的吃虧了嗎?
7. 價格裡的陰謀
8. 公用品的悲劇
9. 密碼學與協定
10. 公平分割問題
11. 中文自動分詞演算法
第二部分 數學之美
12. 讓你立刻愛上數學的8 個算術遊戲
13. 最折磨人的數學未解之謎
14. 那些神秘的數學常數
15. 奇妙的心電圖數列
16. 不可思議的碎形
17. 幾何之美:三角形的心
18. 數學之外的美麗:幸福結局問題
第三部分 幾何的大廈
19. 尺規作圖問題
20. 單規作圖的力量
21. 鏽規作圖也瘋狂
22. 火柴棒搭成的幾何世界
23. 折紙的學問
24. 萬能的連杆系統
25. 探索圖形剪拼
第四部分 精妙的證明
26. 我最愛的一個證明
27. 把輔助線作到空間中去的平面幾何問題
28. 小合集(一):幾何問題
29. 皮克定理的另類證法和出人意料的應用
30. 歐拉公式的另類證法和出人意料的應用
31. 定寬曲線與蒲豐投針實驗
32. 來自不同領域的證明
33. 平分面積的直線
34. 小合集(二):圖形證明
35. 生成函數的妙用
36. 利用賭博求解數學問題
37. 非構造性證明
38. 小合集(三):數字問題
第五部分 思維的尺度
39. 史詩般壯觀的數學證明
40. 停機問題與「萬能證明方法」
41. 奇怪的函數(一)
42. 比無窮更大的無窮
43. 奇怪的函數(二)
44. 塔珀自我指涉公式
45. 俄羅斯方塊可以永無止境地玩下去嗎?
46. 無以言表的大數:古德斯坦數列
47. 乘法之後是乘方,乘方之後是什麼?
48. 不同維度的對話:帶你進入四維世界

讓作者引起數學學習興趣的經歷和我相似,一個不經意的頓悟,就像牛頓被一顆蘋果 K 到而想通萬有引力一樣,數學的學習需要歷經思考的程序才能有所得,每個人不應自我設限,盡量充分學習,成為某方面的專家的路就不遠了。

14 則留言:

  1. 假設 ED線段長度=x, 連上輔助線 AG. 三角形 ADG 面積 = 1/2(5*x)=1/2(4*4),可解得 x =16/5

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  2. 行天下您好,

    正解,能想到這條輔助線不簡單,我的小朋友所想到的是:正方形與長方形面積相等 5*X = 4*4,但他說不出為什麼面積相等。

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    1. 應該鼓勵他再想想。暗示一下移動某一點,會出現怎樣的結果。

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    2. 大家想想看,如果正方形改成長方形,AD = 3.8,兩個面積是否相等?另外除了輔助線解法之外,還有沒有人想出第二種解法?

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  3. http://i.imgur.com/sl4Rocq.jpg
    這是我用的方法二。用的是旋轉及三角函數概念。

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    1. 三角函數!應該稱為第三種解法。
      我的第二種解法跟你很相近,確定角度 ADE 及 GDC 相等後,並且兩個直角三角形相似,就可以依比例列式 X / 4 = 4 / 5

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    2. 若用旋轉的方法,必須要證明另一件事情: 從我原始圖形經過逆時針方向旋轉之後,可以得到如題目一樣的圖形。A點必定落在EF線段之中且G點必定落在BC線段之中。那我的解法是沒有證明這件事情,所以還是有點缺陷。

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    3. 其實從題目的圖順時鐘旋轉是可以得到你的圖形,但反之就不一定。

      另外從解法一,可以推導出一個結論:當兩平行四邊形,EAF共線,BGC共線,則兩平行四邊形面積相等。

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  4. 不對,我弄錯了!因ED/AD=4/5,直接把正方形邊長4×4/5就好了

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    1. 圖中四個三角形為相似型,因ED/AD=4/5,直接把正方形邊長4×4/5就好了

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    2. 新年恭喜,是的四個三角形為相似,你的解法與我相同,為第二類解法。

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  5. 上禮拜在別的地方也看到這一題
    它說小學生用10秒鐘就知道答案(用尺量)
    碩士用整整的一張紙寫滿過程,求得答案
    借以嘲笑高學歷的人求得答案如此緩慢
    我不是很喜歡這樣子暗喻

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    1. 每種人的生活態度不同,造就不同的成就。科學與科技發展上,數學肯定佔有一定比重。
      如果每樣東西都是靠實際量測,那麼這樣的科技發展肯定受到侷限。
      最近有部電影,Hidden Figures, 我們以這個電影中的時代背景。
      如果不能精準的計算太空計畫的軌道,那麼不就把太空人的人命當試驗品?
      這也是某些國家可以把人送上太空,然後再平安返回地球;而某些國家,只能殺豬公拜天公這樣的差異。

      PS:
      根號2 = 1.4 嗎? =1.414 嗎? 這就是計算與量測最直接的差異。
      有人說 根號2是無理數,日常生活中用不到。
      那麼 1/3 = 0.3 或 0.33 還是 0.333 ?

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    2. Scott 我也不喜歡這樣的暗喻,不過自我反省的心還是要有,如果有質量皆佳的方法,還是值得學習。

      關鍵少數這部電影值得一看,在電腦發展成熟前的能代,數學的計算非常依賴這些高手,這讓我想起大學天文航海這門課,有一本 The Nautical Almanac 為英美合編,每年出版一本,裡面每一頁都是數字,像我這類數學愛好者也很難消受,不過現在已經有程式計算了。

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