2026年4月16日 星期四

訓練數學感 432 ─ 求面積

http://4rdp.blogspot.com/2026/04/432.html

如左圖所示，求陰影部分的面積。

難度 ✩

這題不難，小學生可解，還有一個姊妹題 

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4 則留言:

  1. 薛老師2026年4月25日 下午2:55

    【解題思路】
    這道題目要求計算圖中鋪色部分的面積，而鋪色部分是一個正方形。解題的關鍵在於如何利用圖中給定的尺寸，找出這個正方形的邊長。

    【核心公式與定理】
    1. 相似三角形性質：若兩個三角形相似，則其對應邊長度成比例。
    2. 正方形面積公式：面積 = 邊長 × 邊長。

    【步驟推導與計算邏輯】
    1. **定義變數**：
    首先，我們假設鋪色正方形的邊長為『s』公分。
    因此，正方形的面積就是 s² 平方公分。

    2. **識別相似三角形**：
    仔細觀察圖形，我們會發現一個「大直角三角形」包含了整個圖形。
    讓我們將大直角三角形的頂點標示為 A（最上方），底邊的左下角為 B，右下角為 C。
    鋪色正方形的左上角為 D，右上角為 E，左下角為 F，右下角為 G。
    所以，鋪色正方形是 DEFG。

    根據題目的圖示：
    * 正方形上方的高度（從 A 到 D 的垂直距離）是 5 公分。即 AD = 5 cm。
    * 正方形右方的底邊（從 G 到 C 的水平距離）是 20 公分。即 GC = 20 cm。
    * 由於 DEFG 是正方形，所以 DE = EF = FG = GD = s 公分。

    現在，我們可以重新審視圖中的三角形：
    * **小直角三角形 ADE**：它的高是 AD = 5 公分，底是 DE = s 公分。
    * **大直角三角形 ABC**：它的總高是 AB = AD + DF = 5 + s 公分（因為 DF 是正方形的邊長 s）。它的總底是 BC = BG + GC = s + 20 公分（因為 BG 是正方形的邊長 s）。

    由於小直角三角形 ADE 的邊 DE 與大直角三角形 ABC 的邊 BC 平行（兩者皆為水平線），且兩者共用頂角 A，因此：
    **小直角三角形 ADE 與大直角三角形 ABC 是相似的**。

    3. **建立比例關係**：
    根據相似三角形的性質，對應邊長度成比例：
    (小三角形 ADE 的高 AD) / (大三角形 ABC 的高 AB) = (小三角形 ADE 的底 DE) / (大三角形 ABC 的底 BC)

    將我們定義的變數和已知數值代入：
    5 / (5 + s) = s / (s + 20)

    4. **解方程式求 s**：
    現在，我們將比例式進行交叉相乘：
    5 × (s + 20) = s × (5 + s)

    展開等式兩邊的表達式：
    5s + 100 = 5s + s²

    將等式兩邊的 5s 減去：
    100 = s²

    為了求得 s，我們對兩邊開根號：
    s = √100
    s = 10 (因為邊長必須是正數，所以我們只取正根)

    因此，鋪色正方形的邊長為 10 公分。

    5. **計算鋪色面積**：
    鋪色部分是邊長為 s 的正方形，其面積公式為 s²。
    面積 = 10² = 100 平方公分。

    所以，鋪色部分的面積是 100 平方公分。

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  2. Bridan2026年4月25日 下午4:11

    薛老師您好，看到解題過程，就知道這是用 AI 解的，
    不過我不知道是使用哪一種工具解，解法採用中學代數解，
    現在 AI 都可以直接餵圖，我試了兩種，ChatGPT 可以正確且出 100 平方公分，
    不過 Copilot 卻解出 50 平方公分錯誤答案，
    另外陰影區域不限定是正方形，只要畫出輔助線補出三角形右上部分，就很容易用小學解法處理。

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  3. 薛老師2026年4月25日 晚上8:08

    我用gemini開發的解題系統，可以對學科做解析。發現速度很快!我事後驗算，答案是100無誤。

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  4. Bridan2026年4月28日 上午8:10

    謝謝老師分享

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