2022年10月12日 星期三

完整非電腦證明考拉茲猜想 (五) (Collatz conjecture 5)

http://4rdp.blogspot.com/2022/10/collatz-conjecture-5.html

前文(四),雖然在 2019 年並未成功證明考拉茲猜想,不過近期有新的思路嘗試想再次證明它,這一次把數值十進位轉換成二進位,就比較容易解析與理解。


考拉茲函數為  

任意正整數迭代運算後,目前已知結果會出現 fc = 1,今試證明之。

在進行任何證明之前,先分析二進位數值的特性:
特性一,當最右邊的位元為 0 時,數值為偶數,反之為奇數,
              例如 4 = 0b100,9 = 0b1001
特性二,將偶數除以二,相當於把二進位數值做往右移動一個位元,
              例如 12 / 2 = 6  (12 = 0b1100  -->  6 = 0b110)
特性三,最右邊連續非 0 位元乘 3 加 1,會把這些連續非 0 位元數量減少一個,
              並補入一個 1 在左邊及兩個 0 夾在原來位元外側,例如
              1 x 3 + 1 = 4  (1 = 0b01  -->  4 = 0b100)
              3 x 3 + 1 = 10  (3 = 0b011  -->  10 = 0b1010)
              7 x 3 + 1 = 22  (7 = 0b0111  -->  22 = 0b10110)
特性四,最右邊連續 01 位元乘 3 加 1,會被消除成 00 位元,例如
              5 x 3 + 1 = 16  (5 = 0b0101  -->  16 = 0b10000)
              21 x 3 + 1 = 64  (21 = 0b010101  -->  64 = 0b1000000)
              85 x 3 + 1 = 256  (21 = 0b01010101  -->  256 = 0b100000000)
特性五,非右邊連續非 0 位元乘 3,但是不受加 1 進位影響時,
              它會在左右兩個 1 之間各插入一個 0,例如             
              0b.....010.....  -->  0b...110.....
              0b.....0110.....  -->  0b...10010.....
              0b.....01110.....  -->  0b...101010.....
              0b.....011110.....  -->  0b...1011010.....              

有了以上分析工具,來看幾個例子,
例一
23 =             0b10111
x3+1
--------------------------
                   10101
                  11   1
==========================
70 =           0b1000110
/2 = 35 =      0b100011
x3+1
-------------------------
                  01001
                11    1
=========================
106 =         0b1101010
/2 = 53 =     0b110101
x3+1
------------------------
                  1111
              1001   1
========================
160 =       0b10100000 
/32 = 5 =   0b101
x3+1
-------------------
             1111
                1
===================
16 =      0b10000
/16 = 1 = 0b1

例二
237 =                      0b11101101
x3+1
---------------------------------------
                           10101   11
                               1001 1              
=======================================
712 =                    0b1011001000
/8 = 89 =                0b1011001
x3+1
------------------------------------
                          11    11
                           1001  1
====================================
268 =                  0b100001100
/4 = 67 =              0b1000011
x3+1
----------------------------------
                            1001
                        11     1
==================================
202 =                 0b11001010 
/2 = 101 =            0b1100101
x3+1
---------------------------------
                           1111
                      1001    1
=================================
304 =               0b100110000
/16 = 19 =          0b10011
x3+1
-----------------------------
                       1001
                     11   1
=============================
58 =               0b111010
/2 = 29 =          0b11101
x3+1
----------------------------
                        11
                   10101 1
============================
88 =             0b1011000
/8 = 11 =        0b1011
x3+1
-------------------------
                   1001
                  11  1
=========================
34 =           0b100010
/2 = 17 =      0b10001
x3+1
------------------------
                    11
                11   1
========================
52 =          0b110100
/4 = 13 =     0b1101
x3+1
----------------------
                  11
              1001 1
======================
40 =        0b101000
/8 = 5 =    0b101
x3+1
-------------------
             1111
                1
===================
16 =      0b10000
/16 = 1 = 0b1

由上述例子可以了解,特性二可以消滅偶數右邊的 0,特性三可以每次消滅右邊一個 1,特性四可以快速消滅右邊 01 連續組合,雖然特性五每次會對單獨 1 增生一個 1,但是可能遇到進位而又被消除,總體而言,被消滅的位元比增生的 1 多很多,所以會產生歸一的現象。

可惜我數學功力不夠,只能以非數學語言闡述觀察到的現象,這篇文章算不上數學證明,不過透過二進位數值解析,比較容易理解考拉茲猜想現象。

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