2009年8月14日 星期五

訓練數學感 1 ─ 四邊形 Quadrilaterals

http://4rdp.blogspot.com/2009/08/quadrilaterals.html


暑假將結束來動動腦,準備新學期開始,這是一題經典的幾何數學題目,四邊長各為1的正方形,以四頂角為圓心,畫四弧相交其中,求面積A大小?


記得小學五、六年級時,許多同學計算這題看似簡單的幾何題,可是就是算不出來,其實想自行求解答案,應該要有高一、二的程度。

我想出兩種求解方法,或許有更厲害的讀者可以想出更多方法,先不公佈解法與提示,自己算算看,據說即使數學老師也是要算很久!

PS. 解法分析一解法分析二

20 則留言:

  1. 我來試試看:
    A+3B+2C = π/4 -----(1)
    A+2B+C = π/3 - √3/4 -----(2)
    B+2C = 1 - π/4 -----(3)

    由(1)-(2):
    B+C = √3/4 - π/12 -----(4)
    由(3)-(4):
    C = 1 - √3/4 - π/3
    代入(4):
    B = √3/2 - 1 + π/4
    將B,C代回(2):
    A = 1 - √3 - π/6

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  2. Hi Portion,

    謝謝您的補充,就是利用解法三的輔助線,將兩個 π/6 的扇形面積相加,再扣除重複的正三角形面積,得到(2)式。

    這樣的方法確實可以簡化成三元一次聯立方程式求解,只可惜計算過程 C 與 B 計算錯誤,而得到錯誤的 A 。正確答案應為:

    C = 1 - √3/4 - π/6
    B = √3/2 - 1 + π/12
    A = 1 - √3 + π/3

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  3. 同事曾參加過某些公司的智力測驗,而將題目問我。我的解答很簡單.
    先求各點的座標, 然後 1/4 圓弧線的函數假設是 f(x)=sqrt(r^2-x^2),圓心位置要略作調整,那麼面積那就是計算積分值.
    講很容易,計算起來要用到三角替換,以及反三角函數。絕對有機會會難倒一堆人。

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    1. 行天下您好,

      求各點座標是另一種方法,不過太複雜了,一般人還是喜歡用簡單的方法來解決。
      部落格裡還有很多腦力激盪的數學題等待高手破解,歡迎你。

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    2. 您好:
      我的作法其實重點是使用積分這項數學工具,同樣的,使用積分這工具,其他相似類型的題目也就一樣迎刃而解。
      這裡是我大概粗略的計算,http://i.imgur.com/m3uqeU2.jpg 我大概要假日才能仔細去計算吧。 其實,很多人學完微積分,學校畢業之後,鮮少用到。遇到這類問題,也會採取小學或中學的作法。就像寫程式一樣,初學者寫出來的小程式,可能還是使用教科書的教學範例的方法,而不考慮到效率或是其他的問題...只是有感而發而已。當然,這個題目,就以畫輔助線,將複雜圖形簡化成為已經教過面積公式解的圖形,如矩形、三角形、圓形、扇形,加加減減,也是正確的做法。

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    3. 能夠解決問題,無論甚麼方法都可以試看看,據說畢氏定理的證明方法有上百種,也許此題還有其它解題技巧可用。

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    4. 說到畢氏定理的證明,Bridan 兄有興趣試試看嗎?

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    5. 畢氏定理證明是很想試看看,不過目前還沒有靈感,你有嗎?還是來個業餘級共同合作?

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    6. 我腦袋裡面裝了兩種證明方法,一種具象(圖形),非常直覺而且好記,另一種抽象(代數工具),有點像是玩數學工具。
      使用圖形的話,給個提示,圖形的 "面積",會用到乘法運算,所以畢氏定理的邊長平方,就可以使用面積這件事情。

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    7. 這裡有一個畢氏定理證明的網址,http://www.slideshare.net/zergiorubio/elisha-s-loomis-the-pythagorean-proposition,Elisha S. Loomis 在 1968 年出版此書時就列有 370 種證明方法,你所指的邊長平方面積證明,可能在裡面。

      有一點要注意,這些證明都沒有使用三角函數,因為三角函數是根據畢氏定理建立起來的。

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    8. 我使用的方法是 page 49 (文件內的頁數) 方法 35. 另外一個方法使用用向量的內積,向量長度及向量垂直的特性做證明。

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    9. 經過你的激勵,我也想到一個方法,將同大小的 直角三角形並接在一起,讓 b 邊在一起,三角形面積和 = a * b,這大三角形的三邊長為 (c, c, 2a),依據海龍公式 Heron's formula,知道三角形三邊長,就可以求出三角形面積, a*b = sqrt(S*(S-c)*(S-c)*(S-2a)),不過想到這個海龍公式,也是用畢氏定理推導出來,就像先有雞還是先有蛋一樣。

      關於向量證明法,願聞其詳。

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    10. 海龍公式已經在我記憶中完全消失了。只有一個印象,得知三角形三邊長可以求得三角形面積這件事情。
      畢氏定理使用向量證明的方法如下:
      http://i.imgur.com/UARyw1u.jpg
      ||a|| 符號表是 a 向量的長度。
      . 表示向量內積。

      用向量證明的方法是純粹且精簡。但是缺點就是這個證明的方法,偏向於運用抽象符號。對於非理工背景的人,向量的觀念有一條難以跨越的鴻溝。

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    11. 順道一提,中央大學單維彰教授有兩篇文章,頗值得思考。
      http://libai.math.ncu.edu.tw/~shann/Lite/essay/9905.pdf
      http://libai.math.ncu.edu.tw/~shann/Lite/essay/0203.pdf
      其中一段話:
      第一條線索讓我們反省:其實,使用平面向量解決的所有數學(幾何)問題,都有更「基本」的方法可以處理。平面向量之所以受教師歡迎,可能是因為它「威力強大」。

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    12. 已經看到了證明過程,看似無破綻,不過我有個疑問,向量內積的定義 a ● b = |a| |b| cos θ,
      因此 a _|_ b = |a| |b| cos (90) = 0,該不該視為三角函數的定義?

      是的,在商業應用領域,似乎用不到向量這類數學工具,所以非理工的人就較難理解。單教授所提的平面向量觀念,確實值得深思,有機會好好想想一些應用實例。

      謝謝分享。^_^

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    13. 內積的定義有兩種,一種為代數定義,另一為幾何定義;兩者是等價的。而你列下的定義,是屬於幾何的定義。可參考: http://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product 。

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    14. 經過一夜好眠,腦子比較清楚,既使有用到cos = a/c 也沒問題,因為 a b 兩者正交,cos 90=0 ,已經無關 c 的數值,這個方法沒問題,確實可以證明畢氏定理!

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    15. 仔細看歐氏距離的定義,它來自畢氏定理的推導,因此向量證明法,也是雞生蛋,蛋生雞的情況。
      http://en.m.wikipedia.org/wiki/Euclidean_length

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    16. 如果 Bridan 兄對這議題有興趣,可以參考單老師的兩篇文章,配合 MIT Open course 中有關於線性代數的 Lecture 15, 16 來理解向量內積的定義。http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/video-lectures/lecture-15-projections-onto-subspaces/
      http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/video-lectures/lecture-16-projection-matrices-and-least-squares/
      單老師說了,平面向量的來自於線性代數中有關於向量空間中的向量觀念的簡化。而向量的內積運算,實際上是 Projection (投射、或者稱為投影)的結果。 我這裡先撇開抽象數學的部分,以物理來講,W=F●S; 功 = 力向量內積位移向量. 這個算式,兩個向量內積之後,怎麼變成一個純量呢? 原因就是如同 open course 中所提到的 projection.
      正好上面的那兩段影片,可以提供Bridan 兄有關於 GPS 定位文章中,計算近似解的推導的知識。

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    17. 仔細瀏覽後再討論心得,謝謝你的分享。

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