你有沒有想過，乘法其實沒你所想的那麼簡單？
乘法除了算數字之外，還能解排列組合！？
討論問題之前，先看看一個直式乘法
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12345654321
這個算式跟兩個骰子組合相關，標示出藍字應該更容易理解，
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1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
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1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 0 0
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1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 0 0
注意，每一位單獨乘法結果相加不進位，例如藍字5為三顆骰子數值總和，共有6種排列方式 (1,1,3),(1,3,1),(3,1,1),(1,2,2),(2,1,2),(2,2,1)。
倘若 A + B + C = 6，1 ≤ A ≤ 6，1 ≤ B ≤ 4，0 ≤ C ≤ 4，A, B, C ∈ N，請問有多少種排列組合？
那可以計算 1111110 x 11110 x 11111
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1 2 3 4 4 4 3 2 1 0 0
藍字 6 為三個正整數值總和，共有14種排列方式 (5,1,0),(4,2,0),(4,1,1),(3,3,0),(3,2,1),(3,1,2),(2,4,0),(2,3,1),(2,2,2),(2,1,3),(1,4,1),(1,3,2),(1,2,3),(1,1,4)。
以上為 Andy 所創建的，我覺得這方法很棒，可以把骰子或是數值總和問題以簡易的方法解出，而且變通性很強，例如把骰子五塗掉，也可以計算，記得之前的一題 骰子機率，Andy 注意到機率分布是對稱，而想到 111111 x 111111 乘法結果也是左右對稱，一比對果真兩者是相關聯的，這也是求解 訓練數學感 263 ─ 骰子機率(二) 的好方法。說真的，組合配對問題跟直式乘法還真的蠻相配。最初他稱這乘法為陣列乘法，但是我覺得無法直接從名稱跟排列組合相映，建議命名為定量組合乘法，他對這名稱不甚滿意，認為無法從名稱細分出重覆與不重複的情形，所以最後討論命名為狀態配對乘法 (或 Andy SP 乘法)，會這樣取名的原因，它還可以應用於多項式相乘，這對國中生多項式展開很實用。
例如 (3X² + 2X + 1) (X² + 2) = 3X⁴ + 2X³ + 7X² + 4X + 2
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請問這個可以用生成函數理解嗎
回覆刪除個人認為想用生成函數來理解數列，應該是困難的，首先看 OEIS A047355，這數列是 0, 3, 7, 10, 14, 17, 21, 24, 28, 31, 35, 38, 42, 45, ...，它的生成函數 G.f.: x^2*(3 + 4*x)/((1 + x)*(1 - x)^2)，這就是 N 顆骰子總和的中間值，而 OEIS A018901，數列為 1, 1, 6, 27, 146, 780, 4332, 24017, 135954, 767394, ...，這數列是 N 顆骰子組合出中間值的排列數量，因為數值變化過大難以求出生成函數。
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